Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53494 / 86279
↖ ↑ ↗
← S 49.394887°
W 33.074341°		 ← 198.78 m → S 49.394887°
W 33.071594°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
S 49.396675°
W 33.074341°		 ← 198.78 m →
39 513 m²		 S 49.396675°
W 33.071594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408130645751953 y=0.658260345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408130645751953 × 217)
    floor (0.408130645751953 × 131072)
    floor (53494.5)     		tx = 53494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658260345458984 × 217)
    floor (0.658260345458984 × 131072)
    floor (86279.5)     		ty = 86279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53494 / 86279 ti = "17/53494/86279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53494/86279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53494 ÷ 217
    53494 ÷ 131072     		x = 0.408126831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86279 ÷ 217
    86279 ÷ 131072     		y = 0.658256530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408126831054688 × 2 - 1) × π
    -0.183746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57725615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658256530761719 × 2 - 1) × π
    -0.316513061523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.994355108818825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57725615} λ = -0.57725615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994355108818825))-π/2
    2×atan(0.369961952830598)-π/2
    2×0.354346452995806-π/2
    0.708692905991611-1.57079632675     		φ = -0.86210342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57725615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86210342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.394887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53494 KachelY 86279 -0.57725615 -0.86210342 -33.074341 -49.394887
    Oben rechts KachelX + 1 53495 KachelY 86279 -0.57720821 -0.86210342 -33.071594 -49.394887
    Unten links KachelX 53494 KachelY + 1 86280 -0.57725615 -0.86213462 -33.074341 -49.396675
    Unten rechts KachelX + 1 53495 KachelY + 1 86280 -0.57720821 -0.86213462 -33.071594 -49.396675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86210342--0.86213462) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86210342--0.86213462) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57725615--0.57720821) × cos(-0.86210342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650841964822154 × 6371000     		do = 198.78388872873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57725615--0.57720821) × cos(-0.86213462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650818277052435 × 6371000     		du = 198.776653874135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86210342)-sin(-0.86213462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650841964822154-0.650818277052435)×R²
    abs(-0.57720821--0.57725615)×2.36877697188387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36877697188387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36877697188387e-05×40589641000000     		ar = 39512.5881873655m²