Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53494 / 50385
↖ ↑ ↗
← S 69.070526°
E113.851318°		 ← 218.21 m → S 69.070526°
E113.856812°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 69.072488°
E113.851318°		 ← 218.19 m →
47 598 m²		 S 69.072488°
E113.856812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816261291503906 y=0.768821716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816261291503906 × 216)
    floor (0.816261291503906 × 65536)
    floor (53494.5)     		tx = 53494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768821716308594 × 216)
    floor (0.768821716308594 × 65536)
    floor (50385.5)     		ty = 50385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53494 / 50385 ti = "16/53494/50385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53494/50385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53494 ÷ 216
    53494 ÷ 65536     		x = 0.816253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50385 ÷ 216
    50385 ÷ 65536     		y = 0.768814086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816253662109375 × 2 - 1) × π
    0.63250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98708036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768814086914062 × 2 - 1) × π
    -0.537628173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68900872121306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98708036} λ = 1.98708036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68900872121306))-π/2
    2×atan(0.184702524970408)-π/2
    2×0.182644120073348-π/2
    0.365288240146695-1.57079632675     		φ = -1.20550809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98708036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.851318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20550809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.070526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53494 KachelY 50385 1.98708036 -1.20550809 113.851318 -69.070526
    Oben rechts KachelX + 1 53495 KachelY 50385 1.98717624 -1.20550809 113.856812 -69.070526
    Unten links KachelX 53494 KachelY + 1 50386 1.98708036 -1.20554233 113.851318 -69.072488
    Unten rechts KachelX + 1 53495 KachelY + 1 50386 1.98717624 -1.20554233 113.856812 -69.072488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20550809--1.20554233) × R
    3.42400000001852e-05 × 6371000     		dl = 218.14304000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20550809--1.20554233) × R
    3.42400000001852e-05 × 6371000     		dr = 218.14304000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98708036-1.98717624) × cos(-1.20550809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357218528484384 × 6371000     		do = 218.207466807965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98708036-1.98717624) × cos(-1.20554233) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357186547401553 × 6371000     		du = 218.187931116186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20550809)-sin(-1.20554233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357218528484384-0.357186547401553)×R²
    abs(1.98717624-1.98708036)×3.19810828312006e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.19810828312006e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.19810828312006e-05×40589641000000     		ar = 47598.3093774297m²