Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53493 / 50388
↖ ↑ ↗
← S 69.076412°
E113.845825°		 ← 218.13 m → S 69.076412°
E113.851318°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
S 69.078373°
E113.845825°		 ← 218.11 m →
47 567 m²		 S 69.078373°
E113.851318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816246032714844 y=0.768867492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816246032714844 × 216)
    floor (0.816246032714844 × 65536)
    floor (53493.5)     		tx = 53493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768867492675781 × 216)
    floor (0.768867492675781 × 65536)
    floor (50388.5)     		ty = 50388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53493 / 50388 ti = "16/53493/50388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53493/50388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53493 ÷ 216
    53493 ÷ 65536     		x = 0.816238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50388 ÷ 216
    50388 ÷ 65536     		y = 0.76885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816238403320312 × 2 - 1) × π
    0.632476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98698449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98698449} λ = 1.98698449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68929634261078))-π/2
    2×atan(0.184649408211138)-π/2
    2×0.182592755126522-π/2
    0.365185510253043-1.57079632675     		φ = -1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98698449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.845825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53493 KachelY 50388 1.98698449 -1.20561082 113.845825 -69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 53494 KachelY 50388 1.98708036 -1.20561082 113.851318 -69.076412
    Unten links KachelX 53493 KachelY + 1 50389 1.98698449 -1.20564505 113.845825 -69.078373
    Unten rechts KachelX + 1 53494 KachelY + 1 50389 1.98708036 -1.20564505 113.851318 -69.078373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20561082--1.20564505) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20561082--1.20564505) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98698449-1.98708036) × cos(-1.20561082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 218.126100980458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98698449-1.98708036) × cos(-1.20564505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357090601640665 × 6371000     		du = 218.106572264055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20561082)-sin(-1.20564505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357090601640665)×R²
    abs(1.98708036-1.98698449)×3.19729984157857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19729984157857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19729984157857e-05×40589641000000     		ar = 47566.6645570985m²