Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53492 / 50396
↖ ↑ ↗
← S 69.092100°
E113.840332°		 ← 217.97 m → S 69.092100°
E113.845825°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
S 69.094060°
E113.840332°		 ← 217.95 m →
47 505 m²		 S 69.094060°
E113.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816230773925781 y=0.768989562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816230773925781 × 216)
    floor (0.816230773925781 × 65536)
    floor (53492.5)     		tx = 53492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768989562988281 × 216)
    floor (0.768989562988281 × 65536)
    floor (50396.5)     		ty = 50396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53492 / 50396 ti = "16/53492/50396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53492/50396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53492 ÷ 216
    53492 ÷ 65536     		x = 0.81622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50396 ÷ 216
    50396 ÷ 65536     		y = 0.76898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81622314453125 × 2 - 1) × π
    0.6324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98688862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98688862} λ = 1.98688862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6900633330047))-π/2
    2×atan(0.184507838187162)-π/2
    2×0.182455849381288-π/2
    0.364911698762576-1.57079632675     		φ = -1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98688862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53492 KachelY 50396 1.98688862 -1.20588463 113.840332 -69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 53493 KachelY 50396 1.98698449 -1.20588463 113.845825 -69.092100
    Unten links KachelX 53492 KachelY + 1 50397 1.98688862 -1.20591884 113.840332 -69.094060
    Unten rechts KachelX + 1 53493 KachelY + 1 50397 1.98698449 -1.20591884 113.845825 -69.094060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20588463--1.20591884) × R
    3.42100000001455e-05 × 6371000     		dl = 217.951910000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20588463--1.20591884) × R
    3.42100000001455e-05 × 6371000     		dr = 217.951910000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98688862-1.98698449) × cos(-1.20588463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 217.969881212128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98688862-1.98698449) × cos(-1.20591884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356834849302442 × 6371000     		du = 217.95036186372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20588463)-sin(-1.20591884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.356834849302442)×R²
    abs(1.98698449-1.98688862)×3.19576608548977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19576608548977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19576608548977e-05×40589641000000     		ar = 47504.8247977812m²