Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53491 / 50381
↖ ↑ ↗
← S 69.062675°
E113.834839°		 ← 218.29 m → S 69.062675°
E113.840332°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 69.064638°
E113.834839°		 ← 218.27 m →
47 643 m²		 S 69.064638°
E113.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816215515136719 y=0.768760681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816215515136719 × 216)
    floor (0.816215515136719 × 65536)
    floor (53491.5)     		tx = 53491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768760681152344 × 216)
    floor (0.768760681152344 × 65536)
    floor (50381.5)     		ty = 50381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53491 / 50381 ti = "16/53491/50381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53491/50381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53491 ÷ 216
    53491 ÷ 65536     		x = 0.816207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50381 ÷ 216
    50381 ÷ 65536     		y = 0.768753051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816207885742188 × 2 - 1) × π
    0.632415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98679274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768753051757812 × 2 - 1) × π
    -0.537506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6886252260161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98679274} λ = 1.98679274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6886252260161))-π/2
    2×atan(0.184773371085305)-π/2
    2×0.182712628137508-π/2
    0.365425256275016-1.57079632675     		φ = -1.20537107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98679274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.834839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20537107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.062675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53491 KachelY 50381 1.98679274 -1.20537107 113.834839 -69.062675
    Oben rechts KachelX + 1 53492 KachelY 50381 1.98688862 -1.20537107 113.840332 -69.062675
    Unten links KachelX 53491 KachelY + 1 50382 1.98679274 -1.20540533 113.834839 -69.064638
    Unten rechts KachelX + 1 53492 KachelY + 1 50382 1.98688862 -1.20540533 113.840332 -69.064638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20537107--1.20540533) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20537107--1.20540533) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98679274-1.98688862) × cos(-1.20537107) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357346504665697 × 6371000     		do = 218.285641247725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98679274-1.98688862) × cos(-1.20540533) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357314506579322 × 6371000     		du = 218.266095169306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20537107)-sin(-1.20540533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357346504665697-0.357314506579322)×R²
    abs(1.98688862-1.98679274)×3.19980863744407e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.19980863744407e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.19980863744407e-05×40589641000000     		ar = 47643.1741652827m²