Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53487 / 15214
↖ ↑ ↗
← N 79.758726°
W 33.093567°		 ← 54.29 m → N 79.758726°
W 33.090821°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.758238°
W 33.093567°		 ← 54.29 m →
2 947 m²		 N 79.758238°
W 33.090821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408077239990234 y=0.116077423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408077239990234 × 217)
    floor (0.408077239990234 × 131072)
    floor (53487.5)     		tx = 53487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116077423095703 × 217)
    floor (0.116077423095703 × 131072)
    floor (15214.5)     		ty = 15214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53487 / 15214 ti = "17/53487/15214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53487/15214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53487 ÷ 217
    53487 ÷ 131072     		x = 0.408073425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15214 ÷ 217
    15214 ÷ 131072     		y = 0.116073608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408073425292969 × 2 - 1) × π
    -0.183853149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.57759170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116073608398438 × 2 - 1) × π
    0.767852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41228066268047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57759170} λ = -0.57759170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41228066268047))-π/2
    2×atan(11.159382932977)-π/2
    2×1.48142434834367-π/2
    2.96284869668733-1.57079632675     		φ = 1.39205237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57759170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.093567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39205237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.758726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53487 KachelY 15214 -0.57759170 1.39205237 -33.093567 79.758726
    Oben rechts KachelX + 1 53488 KachelY 15214 -0.57754377 1.39205237 -33.090821 79.758726
    Unten links KachelX 53487 KachelY + 1 15215 -0.57759170 1.39204385 -33.093567 79.758238
    Unten rechts KachelX + 1 53488 KachelY + 1 15215 -0.57754377 1.39204385 -33.090821 79.758238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39205237-1.39204385) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39205237-1.39204385) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57759170--0.57754377) × cos(1.39205237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177793682343048 × 6371000     		do = 54.2914397614814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57759170--0.57754377) × cos(1.39204385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177802066594127 × 6371000     		du = 54.2939999934111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39205237)-sin(1.39204385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177793682343048-0.177802066594127)×R²
    abs(-0.57754377--0.57759170)×8.38425107951846e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38425107951846e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38425107951846e-06×40589641000000     		ar = 2947.05878422499m²