Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53481 / 50395
↖ ↑ ↗
← S 69.090139°
E113.779907°		 ← 218.01 m → S 69.090139°
E113.785401°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
S 69.092100°
E113.779907°		 ← 217.99 m →
47 528 m²		 S 69.092100°
E113.785401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816062927246094 y=0.768974304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816062927246094 × 216)
    floor (0.816062927246094 × 65536)
    floor (53481.5)     		tx = 53481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768974304199219 × 216)
    floor (0.768974304199219 × 65536)
    floor (50395.5)     		ty = 50395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53481 / 50395 ti = "16/53481/50395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53481/50395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53481 ÷ 216
    53481 ÷ 65536     		x = 0.816055297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50395 ÷ 216
    50395 ÷ 65536     		y = 0.768966674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816055297851562 × 2 - 1) × π
    0.632110595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98583400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768966674804688 × 2 - 1) × π
    -0.537933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68996745920546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98583400} λ = 1.98583400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68996745920546))-π/2
    2×atan(0.184525528502603)-π/2
    2×0.182472957235763-π/2
    0.364945914471526-1.57079632675     		φ = -1.20585041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98583400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.779907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20585041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.090139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53481 KachelY 50395 1.98583400 -1.20585041 113.779907 -69.090139
    Oben rechts KachelX + 1 53482 KachelY 50395 1.98592988 -1.20585041 113.785401 -69.090139
    Unten links KachelX 53481 KachelY + 1 50396 1.98583400 -1.20588463 113.779907 -69.092100
    Unten rechts KachelX + 1 53482 KachelY + 1 50396 1.98592988 -1.20588463 113.785401 -69.092100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20585041--1.20588463) × R
    3.42199999998627e-05 × 6371000     		dl = 218.015619999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20585041--1.20588463) × R
    3.42199999998627e-05 × 6371000     		dr = 218.015619999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98583400-1.98592988) × cos(-1.20585041) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.356898773547932 × 6371000     		do = 218.012144031796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98583400-1.98592988) × cos(-1.20588463) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.356866806963296 × 6371000     		du = 217.992617196261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20585041)-sin(-1.20588463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356898773547932-0.356866806963296)×R²
    abs(1.98592988-1.98583400)×3.19665846354455e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.19665846354455e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.19665846354455e-05×40589641000000     		ar = 47527.9241754414m²