Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53480 / 50400
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E113.774414°		 ← 217.89 m → S 69.099940°
E113.779907°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 69.101899°
E113.774414°		 ← 217.87 m →
47 474 m²		 S 69.101899°
E113.779907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816047668457031 y=0.769050598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816047668457031 × 216)
    floor (0.816047668457031 × 65536)
    floor (53480.5)     		tx = 53480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769050598144531 × 216)
    floor (0.769050598144531 × 65536)
    floor (50400.5)     		ty = 50400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53480 / 50400 ti = "16/53480/50400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53480/50400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53480 ÷ 216
    53480 ÷ 65536     		x = 0.8160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50400 ÷ 216
    50400 ÷ 65536     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8160400390625 × 2 - 1) × π
    0.632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98573813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98573813} λ = 1.98573813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98573813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53480 KachelY 50400 1.98573813 -1.20602146 113.774414 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 53481 KachelY 50400 1.98583400 -1.20602146 113.779907 -69.099940
    Unten links KachelX 53480 KachelY + 1 50401 1.98573813 -1.20605566 113.774414 -69.101899
    Unten rechts KachelX + 1 53481 KachelY + 1 50401 1.98583400 -1.20605566 113.779907 -69.101899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98573813-1.98583400) × cos(-1.20602146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 217.891807994156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98573813-1.98583400) × cos(-1.20605566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356707033167598 × 6371000     		du = 217.872293331749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20605566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356707033167598)×R²
    abs(1.98583400-1.98573813)×3.19499887950214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19499887950214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19499887950214e-05×40589641000000     		ar = 47473.9278361471m²