Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53477 / 50398
↖ ↑ ↗
← S 69.096020°
E113.757935°		 ← 217.93 m → S 69.096020°
E113.763428°		 →
↑
217.95 m
↓
↑
217.95 m
↓
S 69.097980°
E113.757935°		 ← 217.91 m →
47 496 m²		 S 69.097980°
E113.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816001892089844 y=0.769020080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816001892089844 × 216)
    floor (0.816001892089844 × 65536)
    floor (53477.5)     		tx = 53477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769020080566406 × 216)
    floor (0.769020080566406 × 65536)
    floor (50398.5)     		ty = 50398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53477 / 50398 ti = "16/53477/50398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53477/50398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53477 ÷ 216
    53477 ÷ 65536     		x = 0.815994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50398 ÷ 216
    50398 ÷ 65536     		y = 0.769012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815994262695312 × 2 - 1) × π
    0.631988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98545051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.53802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69025508060318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98545051} λ = 1.98545051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69025508060318))-π/2
    2×atan(0.184472462643984)-π/2
    2×0.182421638268606-π/2
    0.364843276537211-1.57079632675     		φ = -1.20595305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98545051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.757935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20595305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.096020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53477 KachelY 50398 1.98545051 -1.20595305 113.757935 -69.096020
    Oben rechts KachelX + 1 53478 KachelY 50398 1.98554638 -1.20595305 113.763428 -69.096020
    Unten links KachelX 53477 KachelY + 1 50399 1.98545051 -1.20598726 113.757935 -69.097980
    Unten rechts KachelX + 1 53478 KachelY + 1 50399 1.98554638 -1.20598726 113.763428 -69.097980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20595305--1.20598726) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dl = 217.951909999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20595305--1.20598726) × R
    3.42099999999235e-05 × 6371000     		dr = 217.951909999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98545051-1.98554638) × cos(-1.20595305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356802891223974 × 6371000     		do = 217.930842260239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98545051-1.98554638) × cos(-1.20598726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356770932727932 × 6371000     		du = 217.911322401709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20595305)-sin(-1.20598726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356802891223974-0.356770932727932)×R²
    abs(1.98554638-1.98545051)×3.19584960421504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19584960421504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19584960421504e-05×40589641000000     		ar = 47496.3161277331m²