Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53476 / 50404
↖ ↑ ↗
← S 69.107777°
E113.752441°		 ← 217.84 m → S 69.107777°
E113.757935°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
S 69.109736°
E113.752441°		 ← 217.82 m →
47 448 m²		 S 69.109736°
E113.757935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815986633300781 y=0.769111633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815986633300781 × 216)
    floor (0.815986633300781 × 65536)
    floor (53476.5)     		tx = 53476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769111633300781 × 216)
    floor (0.769111633300781 × 65536)
    floor (50404.5)     		ty = 50404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53476 / 50404 ti = "16/53476/50404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53476/50404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53476 ÷ 216
    53476 ÷ 65536     		x = 0.81597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50404 ÷ 216
    50404 ÷ 65536     		y = 0.76910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81597900390625 × 2 - 1) × π
    0.6319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98535463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.5382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69083032339862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98535463} λ = 1.98535463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69083032339862))-π/2
    2×atan(0.184366376704403)-π/2
    2×0.182319041692261-π/2
    0.364638083384521-1.57079632675     		φ = -1.20615824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98535463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20615824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.107777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53476 KachelY 50404 1.98535463 -1.20615824 113.752441 -69.107777
    Oben rechts KachelX + 1 53477 KachelY 50404 1.98545051 -1.20615824 113.757935 -69.107777
    Unten links KachelX 53476 KachelY + 1 50405 1.98535463 -1.20619243 113.752441 -69.109736
    Unten rechts KachelX + 1 53477 KachelY + 1 50405 1.98545051 -1.20619243 113.757935 -69.109736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20615824--1.20619243) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dl = 217.824490000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20615824--1.20619243) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dr = 217.824490000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98535463-1.98545051) × cos(-1.20615824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.356611199383108 × 6371000     		do = 217.836478927604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98535463-1.98545051) × cos(-1.20619243) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.356579257068556 × 6371000     		du = 217.816966917485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20615824)-sin(-1.20619243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356611199383108-0.356579257068556)×R²
    abs(1.98545051-1.98535463)×3.1942314551392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1942314551392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1942314551392e-05×40589641000000     		ar = 47447.9948335883m²