Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53476 / 10852
↖ ↑ ↗
← N 81.683555°
W 33.123779°		 ← 44.18 m → N 81.683555°
W 33.121033°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.683158°
W 33.123779°		 ← 44.18 m →
1 950 m²		 N 81.683158°
W 33.121033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407993316650391 y=0.0827980041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407993316650391 × 217)
    floor (0.407993316650391 × 131072)
    floor (53476.5)     		tx = 53476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827980041503906 × 217)
    floor (0.0827980041503906 × 131072)
    floor (10852.5)     		ty = 10852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53476 / 10852 ti = "17/53476/10852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53476/10852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53476 ÷ 217
    53476 ÷ 131072     		x = 0.407989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10852 ÷ 217
    10852 ÷ 131072     		y = 0.082794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407989501953125 × 2 - 1) × π
    -0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082794189453125 × 2 - 1) × π
    0.83441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62138141882315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57811901} λ = -0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62138141882315))-π/2
    2×atan(13.7547114842891)-π/2
    2×1.4982216537493-π/2
    2.9964433074986-1.57079632675     		φ = 1.42564698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42564698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.683555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53476 KachelY 10852 -0.57811901 1.42564698 -33.123779 81.683555
    Oben rechts KachelX + 1 53477 KachelY 10852 -0.57807107 1.42564698 -33.121033 81.683555
    Unten links KachelX 53476 KachelY + 1 10853 -0.57811901 1.42564005 -33.123779 81.683158
    Unten rechts KachelX + 1 53477 KachelY + 1 10853 -0.57807107 1.42564005 -33.121033 81.683158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42564698-1.42564005) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42564698-1.42564005) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57811901--0.57807107) × cos(1.42564698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144640207634137 × 6371000     		do = 44.176842450381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57811901--0.57807107) × cos(1.42564005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144647064756969 × 6371000     		du = 44.1789367921963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42564698)-sin(1.42564005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144640207634137-0.144647064756969)×R²
    abs(-0.57807107--0.57811901)×6.85712283227113e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85712283227113e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85712283227113e-06×40589641000000     		ar = 1950.49932992946m²