Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53473 / 15186
↖ ↑ ↗
← N 79.772390°
W 33.132019°		 ← 54.23 m → N 79.772390°
W 33.129272°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.771902°
W 33.132019°		 ← 54.23 m →
2 940 m²		 N 79.771902°
W 33.129272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407970428466797 y=0.115863800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407970428466797 × 217)
    floor (0.407970428466797 × 131072)
    floor (53473.5)     		tx = 53473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115863800048828 × 217)
    floor (0.115863800048828 × 131072)
    floor (15186.5)     		ty = 15186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53473 / 15186 ti = "17/53473/15186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53473/15186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53473 ÷ 217
    53473 ÷ 131072     		x = 0.407966613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15186 ÷ 217
    15186 ÷ 131072     		y = 0.115859985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407966613769531 × 2 - 1) × π
    -0.184066772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.57826282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115859985351562 × 2 - 1) × π
    0.768280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41362289586983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57826282} λ = -0.57826282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41362289586983))-π/2
    2×atan(11.1743714839374)-π/2
    2×1.48154358986593-π/2
    2.96308717973186-1.57079632675     		φ = 1.39229085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57826282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.132019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39229085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.772390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53473 KachelY 15186 -0.57826282 1.39229085 -33.132019 79.772390
    Oben rechts KachelX + 1 53474 KachelY 15186 -0.57821488 1.39229085 -33.129272 79.772390
    Unten links KachelX 53473 KachelY + 1 15187 -0.57826282 1.39228234 -33.132019 79.771902
    Unten rechts KachelX + 1 53474 KachelY + 1 15187 -0.57821488 1.39228234 -33.129272 79.771902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39229085-1.39228234) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39229085-1.39228234) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57826282--0.57821488) × cos(1.39229085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177558996803974 × 6371000     		do = 54.231087992476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57826282--0.57821488) × cos(1.39228234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177567371574988 × 6371000     		du = 54.23364586311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39229085)-sin(1.39228234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177558996803974-0.177567371574988)×R²
    abs(-0.57821488--0.57826282)×8.37477101325868e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37477101325868e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37477101325868e-06×40589641000000     		ar = 2940.32762665927m²