Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53471 / 22113
↖ ↑ ↗
← N 50.398014°
E113.724976°		 ← 389.35 m → N 50.398014°
E113.730469°		 →
↑
389.40 m
↓
↑
389.40 m
↓
N 50.394512°
E113.724976°		 ← 389.38 m →
151 616 m²		 N 50.394512°
E113.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815910339355469 y=0.337425231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815910339355469 × 216)
    floor (0.815910339355469 × 65536)
    floor (53471.5)     		tx = 53471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337425231933594 × 216)
    floor (0.337425231933594 × 65536)
    floor (22113.5)     		ty = 22113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53471 / 22113 ti = "16/53471/22113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53471/22113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53471 ÷ 216
    53471 ÷ 65536     		x = 0.815902709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22113 ÷ 216
    22113 ÷ 65536     		y = 0.337417602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815902709960938 × 2 - 1) × π
    0.631805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98487527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337417602539062 × 2 - 1) × π
    0.325164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0215353309034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98487527} λ = 1.98487527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0215353309034))-π/2
    2×atan(2.77745580580413)-π/2
    2×1.22520380229504-π/2
    2.45040760459009-1.57079632675     		φ = 0.87961128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98487527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.724976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87961128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.398014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53471 KachelY 22113 1.98487527 0.87961128 113.724976 50.398014
    Oben rechts KachelX + 1 53472 KachelY 22113 1.98497114 0.87961128 113.730469 50.398014
    Unten links KachelX 53471 KachelY + 1 22114 1.98487527 0.87955016 113.724976 50.394512
    Unten rechts KachelX + 1 53472 KachelY + 1 22114 1.98497114 0.87955016 113.730469 50.394512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87961128-0.87955016) × R
    6.11200000000256e-05 × 6371000     		dl = 389.395520000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87961128-0.87955016) × R
    6.11200000000256e-05 × 6371000     		dr = 389.395520000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98487527-1.98497114) × cos(0.87961128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		do = 389.347090114942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98487527-1.98497114) × cos(0.87955016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637497788898486 × 6371000     		du = 389.375852861228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87961128)-sin(0.87955016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637450697670241-0.637497788898486)×R²
    abs(1.98497114-1.98487527)×4.70912282448666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70912282448666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70912282448666e-05×40589641000000     		ar = 151615.612705521m²