Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53464 / 86312
↖ ↑ ↗
← S 49.453843°
W 33.156738°		 ← 198.50 m → S 49.453843°
W 33.153992°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.455628°
W 33.156738°		 ← 198.50 m →
39 406 m²		 S 49.455628°
W 33.153992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407901763916016 y=0.658512115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407901763916016 × 217)
    floor (0.407901763916016 × 131072)
    floor (53464.5)     		tx = 53464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658512115478516 × 217)
    floor (0.658512115478516 × 131072)
    floor (86312.5)     		ty = 86312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53464 / 86312 ti = "17/53464/86312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53464/86312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53464 ÷ 217
    53464 ÷ 131072     		x = 0.40789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86312 ÷ 217
    86312 ÷ 131072     		y = 0.65850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.995937026506287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57869425} λ = -0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995937026506287))-π/2
    2×atan(0.369377166137885)-π/2
    2×0.353831972889658-π/2
    0.707663945779316-1.57079632675     		φ = -0.86313238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86313238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.453843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53464 KachelY 86312 -0.57869425 -0.86313238 -33.156738 -49.453843
    Oben rechts KachelX + 1 53465 KachelY 86312 -0.57864632 -0.86313238 -33.153992 -49.453843
    Unten links KachelX 53464 KachelY + 1 86313 -0.57869425 -0.86316354 -33.156738 -49.455628
    Unten rechts KachelX + 1 53465 KachelY + 1 86313 -0.57864632 -0.86316354 -33.153992 -49.455628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86313238--0.86316354) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dl = 198.520359999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86313238--0.86316354) × R
    3.1159999999919e-05 × 6371000     		dr = 198.520359999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57869425--0.57864632) × cos(-0.86313238) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.650060420367034 × 6371000     		do = 198.503769585592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57869425--0.57864632) × cos(-0.86316354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.650036742112012 × 6371000     		du = 198.496539145572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86313238)-sin(-0.86316354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650060420367034-0.650036742112012)×R²
    abs(-0.57864632--0.57869425)×2.36782550222525e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.36782550222525e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.36782550222525e-05×40589641000000     		ar = 39406.3221078415m²