Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53462 / 15205
↖ ↑ ↗
← N 79.763120°
W 33.162232°		 ← 54.28 m → N 79.763120°
W 33.159485°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.762632°
W 33.162232°		 ← 54.28 m →
2 946 m²		 N 79.762632°
W 33.159485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407886505126953 y=0.116008758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407886505126953 × 217)
    floor (0.407886505126953 × 131072)
    floor (53462.5)     		tx = 53462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116008758544922 × 217)
    floor (0.116008758544922 × 131072)
    floor (15205.5)     		ty = 15205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53462 / 15205 ti = "17/53462/15205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53462/15205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53462 ÷ 217
    53462 ÷ 131072     		x = 0.407882690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15205 ÷ 217
    15205 ÷ 131072     		y = 0.116004943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.184234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57879013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116004943847656 × 2 - 1) × π
    0.767990112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.41271209477705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57879013} λ = -0.57879013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41271209477705))-π/2
    2×atan(11.16419848767)-π/2
    2×1.48146269315383-π/2
    2.96292538630767-1.57079632675     		φ = 1.39212906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57879013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.162232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39212906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.763120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53462 KachelY 15205 -0.57879013 1.39212906 -33.162232 79.763120
    Oben rechts KachelX + 1 53463 KachelY 15205 -0.57874219 1.39212906 -33.159485 79.763120
    Unten links KachelX 53462 KachelY + 1 15206 -0.57879013 1.39212054 -33.162232 79.762632
    Unten rechts KachelX + 1 53463 KachelY + 1 15206 -0.57874219 1.39212054 -33.159485 79.762632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39212906-1.39212054) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39212906-1.39212054) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57879013--0.57874219) × cos(1.39212906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177718213661815 × 6371000     		do = 54.2797169191024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57879013--0.57874219) × cos(1.39212054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177726598029043 × 6371000     		du = 54.2822777206674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39212906)-sin(1.39212054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177718213661815-0.177726598029043)×R²
    abs(-0.57874219--0.57879013)×8.38436722777613e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38436722777613e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38436722777613e-06×40589641000000     		ar = 2946.42247303564m²