Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53452 / 22161
↖ ↑ ↗
← N 50.229638°
E113.620605°		 ← 390.77 m → N 50.229638°
E113.626099°		 →
↑
390.73 m
↓
↑
390.73 m
↓
N 50.226124°
E113.620605°		 ← 390.80 m →
152 692 m²		 N 50.226124°
E113.626099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815620422363281 y=0.338157653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815620422363281 × 216)
    floor (0.815620422363281 × 65536)
    floor (53452.5)     		tx = 53452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338157653808594 × 216)
    floor (0.338157653808594 × 65536)
    floor (22161.5)     		ty = 22161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53452 / 22161 ti = "16/53452/22161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53452/22161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53452 ÷ 216
    53452 ÷ 65536     		x = 0.81561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22161 ÷ 216
    22161 ÷ 65536     		y = 0.338150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81561279296875 × 2 - 1) × π
    0.6312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98305366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338150024414062 × 2 - 1) × π
    0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98305366} λ = 1.98305366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01693338853987))-π/2
    2×atan(2.76470347950948)-π/2
    2×1.2237344452641-π/2
    2.44746889052819-1.57079632675     		φ = 0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98305366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.620605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53452 KachelY 22161 1.98305366 0.87667256 113.620605 50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 53453 KachelY 22161 1.98314954 0.87667256 113.626099 50.229638
    Unten links KachelX 53452 KachelY + 1 22162 1.98305366 0.87661123 113.620605 50.226124
    Unten rechts KachelX + 1 53453 KachelY + 1 22162 1.98314954 0.87661123 113.626099 50.226124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87667256-0.87661123) × R
    6.13300000000816e-05 × 6371000     		dl = 390.73343000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87667256-0.87661123) × R
    6.13300000000816e-05 × 6371000     		dr = 390.73343000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98305366-1.98314954) × cos(0.87667256) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 390.769143913449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98305366-1.98314954) × cos(0.87661123) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.639759337547655 × 6371000     		du = 390.797938185454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87667256)-sin(0.87661123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639759337547655)×R²
    abs(1.98314954-1.98305366)×4.71379262352301e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.71379262352301e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.71379262352301e-05×40589641000000     		ar = 152692.193430137m²