Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5345 / 6049
↖ ↑ ↗
← S 64.792848°
E 54.887695°		 ← 2 081.12 m → S 64.792848°
E 54.931640°		 →
↑
2 080.39 m
↓
↑
2 080.39 m
↓
S 64.811557°
E 54.887695°		 ← 2 079.68 m →
4 328 031 m²		 S 64.811557°
E 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65252685546875 y=0.73846435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65252685546875 × 213)
    floor (0.65252685546875 × 8192)
    floor (5345.5)     		tx = 5345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73846435546875 × 213)
    floor (0.73846435546875 × 8192)
    floor (6049.5)     		ty = 6049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5345 / 6049 ti = "13/5345/6049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5345/6049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5345 ÷ 213
    5345 ÷ 8192     		x = 0.6524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6049 ÷ 213
    6049 ÷ 8192     		y = 0.7384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6524658203125 × 2 - 1) × π
    0.304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95797100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49793223932751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95797100} λ = 0.95797100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49793223932751))-π/2
    2×atan(0.223592017258854)-π/2
    2×0.219973900692938-π/2
    0.439947801385875-1.57079632675     		φ = -1.13084853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95797100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13084853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.792848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5345 KachelY 6049 0.95797100 -1.13084853 54.887695 -64.792848
    Oben rechts KachelX + 1 5346 KachelY 6049 0.95873799 -1.13084853 54.931640 -64.792848
    Unten links KachelX 5345 KachelY + 1 6050 0.95797100 -1.13117507 54.887695 -64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 5346 KachelY + 1 6050 0.95873799 -1.13117507 54.931640 -64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13084853--1.13117507) × R
    0.000326540000000097 × 6371000     		dl = 2080.38634000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13084853--1.13117507) × R
    0.000326540000000097 × 6371000     		dr = 2080.38634000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95797100-0.95873799) × cos(-1.13084853) × R
    0.000766990000000023 × 0.425892233548999 × 6371000     		do = 2081.11954150036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95797100-0.95873799) × cos(-1.13117507) × R
    0.000766990000000023 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 2079.67574120555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13084853)-sin(-1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425892233548999-0.425596765979697)×R²
    abs(0.95873799-0.95797100)×0.0002954675693016×R²
    0.000766990000000023×0.0002954675693016×6371000²
    0.000766990000000023×0.0002954675693016×40589641000000     		ar = 4328030.87329727m²