Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5345 / 3561
↖ ↑ ↗
← N 80.221722°
W121.278076°		 ← 207.48 m → N 80.221722°
W121.267090°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 80.219856°
W121.278076°		 ← 207.52 m →
43 057 m²		 N 80.219856°
W121.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163131713867188 y=0.108688354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163131713867188 × 215)
    floor (0.163131713867188 × 32768)
    floor (5345.5)     		tx = 5345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108688354492188 × 215)
    floor (0.108688354492188 × 32768)
    floor (3561.5)     		ty = 3561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5345 / 3561 ti = "15/5345/3561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5345/3561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5345 ÷ 215
    5345 ÷ 32768     		x = 0.163116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3561 ÷ 215
    3561 ÷ 32768     		y = 0.108673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.67376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11670174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108673095703125 × 2 - 1) × π
    0.78265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45877945531192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11670174} λ = -2.11670174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45877945531192))-π/2
    2×atan(11.6905340093853)-π/2
    2×1.48546475331698-π/2
    2.97092950663396-1.57079632675     		φ = 1.40013318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11670174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40013318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.221722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5345 KachelY 3561 -2.11670174 1.40013318 -121.278076 80.221722
    Oben rechts KachelX + 1 5346 KachelY 3561 -2.11650999 1.40013318 -121.267090 80.221722
    Unten links KachelX 5345 KachelY + 1 3562 -2.11670174 1.40010061 -121.278076 80.219856
    Unten rechts KachelX + 1 5346 KachelY + 1 3562 -2.11650999 1.40010061 -121.267090 80.219856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40013318-1.40010061) × R
    3.25700000001206e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40013318-1.40010061) × R
    3.25700000001206e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11670174--2.11650999) × cos(1.40013318) × R
    0.000191749999999935 × 0.169835899198243 × 6371000     		do = 207.478200519547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11670174--2.11650999) × cos(1.40010061) × R
    0.000191749999999935 × 0.169867995942839 × 6371000     		du = 207.517411162542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40013318)-sin(1.40010061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169835899198243-0.169867995942839)×R²
    abs(-2.11650999--2.11670174)×3.20967445959774e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20967445959774e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20967445959774e-05×40589641000000     		ar = 43056.5147331749m²