Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53447 / 94123
↖ ↑ ↗
← S 61.495181°
W 33.203430°		 ← 145.76 m → S 61.495181°
W 33.200683°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
S 61.496492°
W 33.203430°		 ← 145.75 m →
21 237 m²		 S 61.496492°
W 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407772064208984 y=0.718105316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407772064208984 × 217)
    floor (0.407772064208984 × 131072)
    floor (53447.5)     		tx = 53447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718105316162109 × 217)
    floor (0.718105316162109 × 131072)
    floor (94123.5)     		ty = 94123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53447 / 94123 ti = "17/53447/94123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53447/94123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53447 ÷ 217
    53447 ÷ 131072     		x = 0.407768249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94123 ÷ 217
    94123 ÷ 131072     		y = 0.718101501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407768249511719 × 2 - 1) × π
    -0.184463500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.57950918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718101501464844 × 2 - 1) × π
    -0.436203002929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.37037214943855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57950918} λ = -0.57950918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37037214943855))-π/2
    2×atan(0.254012411384587)-π/2
    2×0.248751470499194-π/2
    0.497502940998388-1.57079632675     		φ = -1.07329339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57950918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07329339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.495181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53447 KachelY 94123 -0.57950918 -1.07329339 -33.203430 -61.495181
    Oben rechts KachelX + 1 53448 KachelY 94123 -0.57946124 -1.07329339 -33.200683 -61.495181
    Unten links KachelX 53447 KachelY + 1 94124 -0.57950918 -1.07331626 -33.203430 -61.496492
    Unten rechts KachelX + 1 53448 KachelY + 1 94124 -0.57946124 -1.07331626 -33.200683 -61.496492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07329339--1.07331626) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07329339--1.07331626) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57950918--0.57946124) × cos(-1.07329339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47723266707063 × 6371000     		do = 145.759140492125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57950918--0.57946124) × cos(-1.07331626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477212569316282 × 6371000     		du = 145.753002120631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07329339)-sin(-1.07331626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47723266707063-0.477212569316282)×R²
    abs(-0.57946124--0.57950918)×2.00977543477476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00977543477476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00977543477476e-05×40589641000000     		ar = 21237.3548466325m²