Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5344 / 2720
↖ ↑ ↗
← N 81.672424°
W121.289063°		 ← 176.93 m → N 81.672424°
W121.278076°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 81.670833°
W121.289063°		 ← 176.97 m →
31 306 m²		 N 81.670833°
W121.278076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163101196289062 y=0.0830230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163101196289062 × 215)
    floor (0.163101196289062 × 32768)
    floor (5344.5)     		tx = 5344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830230712890625 × 215)
    floor (0.0830230712890625 × 32768)
    floor (2720.5)     		ty = 2720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5344 / 2720 ti = "15/5344/2720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5344/2720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5344 ÷ 215
    5344 ÷ 32768     		x = 0.1630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2720 ÷ 215
    2720 ÷ 32768     		y = 0.0830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    -0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830078125 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11689349} λ = -2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62003918563379))-π/2
    2×atan(13.736261838658)-π/2
    2×1.49812451881769-π/2
    2.99624903763539-1.57079632675     		φ = 1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5344 KachelY 2720 -2.11689349 1.42545271 -121.289063 81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 5345 KachelY 2720 -2.11670174 1.42545271 -121.278076 81.672424
    Unten links KachelX 5344 KachelY + 1 2721 -2.11689349 1.42542494 -121.289063 81.670833
    Unten rechts KachelX + 1 5345 KachelY + 1 2721 -2.11670174 1.42542494 -121.278076 81.670833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42545271-1.42542494) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42545271-1.42542494) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11689349--2.11670174) × cos(1.42545271) × R
    0.000191749999999935 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 176.932983630302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11689349--2.11670174) × cos(1.42542494) × R
    0.000191749999999935 × 0.144859909164205 × 6371000     		du = 176.966550786367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42545271)-sin(1.42542494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.144859909164205)×R²
    abs(-2.11670174--2.11689349)×2.7477142753668e-05×R²
    0.000191749999999935×2.7477142753668e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.7477142753668e-05×40589641000000     		ar = 31306.425272723m²