Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53417 / 15215
↖ ↑ ↗
← N 79.758238°
W 33.285828°		 ← 54.31 m → N 79.758238°
W 33.283081°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.757749°
W 33.285828°		 ← 54.31 m →
2 951 m²		 N 79.757749°
W 33.283081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407543182373047 y=0.116085052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407543182373047 × 217)
    floor (0.407543182373047 × 131072)
    floor (53417.5)     		tx = 53417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116085052490234 × 217)
    floor (0.116085052490234 × 131072)
    floor (15215.5)     		ty = 15215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53417 / 15215 ti = "17/53417/15215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53417/15215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53417 ÷ 217
    53417 ÷ 131072     		x = 0.407539367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15215 ÷ 217
    15215 ÷ 131072     		y = 0.116081237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407539367675781 × 2 - 1) × π
    -0.184921264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.58094729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116081237792969 × 2 - 1) × π
    0.767837524414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.41223272578085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58094729} λ = -0.58094729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41223272578085))-π/2
    2×atan(11.1588479995791)-π/2
    2×1.4814200868042-π/2
    2.96284017360839-1.57079632675     		φ = 1.39204385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58094729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.285828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39204385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.758238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53417 KachelY 15215 -0.58094729 1.39204385 -33.285828 79.758238
    Oben rechts KachelX + 1 53418 KachelY 15215 -0.58089935 1.39204385 -33.283081 79.758238
    Unten links KachelX 53417 KachelY + 1 15216 -0.58094729 1.39203532 -33.285828 79.757749
    Unten rechts KachelX + 1 53418 KachelY + 1 15216 -0.58089935 1.39203532 -33.283081 79.757749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39204385-1.39203532) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39204385-1.39203532) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58094729--0.58089935) × cos(1.39204385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177802066594127 × 6371000     		do = 54.3053277630049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58094729--0.58089935) × cos(1.39203532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177810460672948 × 6371000     		du = 54.3078915307403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39204385)-sin(1.39203532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177802066594127-0.177810460672948)×R²
    abs(-0.58089935--0.58094729)×8.39407882050058e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39407882050058e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39407882050058e-06×40589641000000     		ar = 2951.272607963m²