Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5341 / 3036
↖ ↑ ↗
← N 81.154241°
W121.322021°		 ← 187.86 m → N 81.154241°
W121.311035°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 81.152551°
W121.322021°		 ← 187.89 m →
35 298 m²		 N 81.152551°
W121.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163009643554688 y=0.0926666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163009643554688 × 215)
    floor (0.163009643554688 × 32768)
    floor (5341.5)     		tx = 5341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926666259765625 × 215)
    floor (0.0926666259765625 × 32768)
    floor (3036.5)     		ty = 3036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5341 / 3036 ti = "15/5341/3036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5341/3036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5341 ÷ 215
    5341 ÷ 32768     		x = 0.162994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3036 ÷ 215
    3036 ÷ 32768     		y = 0.0926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.67401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11746873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926513671875 × 2 - 1) × π
    0.814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55944694451404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11746873} λ = -2.11746873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55944694451404))-π/2
    2×atan(12.9286650687883)-π/2
    2×1.49360251673038-π/2
    2.98720503346076-1.57079632675     		φ = 1.41640871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11746873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.322021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41640871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.154241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5341 KachelY 3036 -2.11746873 1.41640871 -121.322021 81.154241
    Oben rechts KachelX + 1 5342 KachelY 3036 -2.11727698 1.41640871 -121.311035 81.154241
    Unten links KachelX 5341 KachelY + 1 3037 -2.11746873 1.41637922 -121.322021 81.152551
    Unten rechts KachelX + 1 5342 KachelY + 1 3037 -2.11727698 1.41637922 -121.311035 81.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41640871-1.41637922) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41640871-1.41637922) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11746873--2.11727698) × cos(1.41640871) × R
    0.000191749999999935 × 0.153775028713779 × 6371000     		do = 187.857610746566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11746873--2.11727698) × cos(1.41637922) × R
    0.000191749999999935 × 0.153804167889466 × 6371000     		du = 187.893208307298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41640871)-sin(1.41637922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153775028713779-0.153804167889466)×R²
    abs(-2.11727698--2.11746873)×2.91391756869208e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91391756869208e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91391756869208e-05×40589641000000     		ar = 35298.1803659803m²