Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53403 / 86397
↖ ↑ ↗
← S 49.605370°
W 33.324280°		 ← 197.89 m → S 49.605370°
W 33.321533°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 49.607151°
W 33.324280°		 ← 197.88 m →
39 171 m²		 S 49.607151°
W 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407436370849609 y=0.659160614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407436370849609 × 217)
    floor (0.407436370849609 × 131072)
    floor (53403.5)     		tx = 53403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659160614013672 × 217)
    floor (0.659160614013672 × 131072)
    floor (86397.5)     		ty = 86397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53403 / 86397 ti = "17/53403/86397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53403/86397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53403 ÷ 217
    53403 ÷ 131072     		x = 0.407432556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86397 ÷ 217
    86397 ÷ 131072     		y = 0.659156799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407432556152344 × 2 - 1) × π
    -0.185134887695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.58161840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659156799316406 × 2 - 1) × π
    -0.318313598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00001166297399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58161840} λ = -0.58161840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00001166297399))-π/2
    2×atan(0.367875150628108)-π/2
    2×0.352509642674333-π/2
    0.705019285348667-1.57079632675     		φ = -0.86577704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58161840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.324280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86577704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.605370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53403 KachelY 86397 -0.58161840 -0.86577704 -33.324280 -49.605370
    Oben rechts KachelX + 1 53404 KachelY 86397 -0.58157047 -0.86577704 -33.321533 -49.605370
    Unten links KachelX 53403 KachelY + 1 86398 -0.58161840 -0.86580811 -33.324280 -49.607151
    Unten rechts KachelX + 1 53404 KachelY + 1 86398 -0.58157047 -0.86580811 -33.321533 -49.607151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86577704--0.86580811) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86577704--0.86580811) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58161840--0.58157047) × cos(-0.86577704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648048518460868 × 6371000     		do = 197.889411135824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58161840--0.58157047) × cos(-0.86580811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648024855265496 × 6371000     		du = 197.882185294449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86577704)-sin(-0.86580811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648048518460868-0.648024855265496)×R²
    abs(-0.58157047--0.58161840)×2.36631953719479e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36631953719479e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36631953719479e-05×40589641000000     		ar = 39170.894165929m²