Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53403 / 21932
↖ ↑ ↗
← N 51.027577°
E113.351441°		 ← 384.15 m → N 51.027577°
E113.356934°		 →
↑
384.24 m
↓
↑
384.24 m
↓
N 51.024121°
E113.351441°		 ← 384.18 m →
147 610 m²		 N 51.024121°
E113.356934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814872741699219 y=0.334663391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814872741699219 × 216)
    floor (0.814872741699219 × 65536)
    floor (53403.5)     		tx = 53403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334663391113281 × 216)
    floor (0.334663391113281 × 65536)
    floor (21932.5)     		ty = 21932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53403 / 21932 ti = "16/53403/21932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53403/21932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53403 ÷ 216
    53403 ÷ 65536     		x = 0.814865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21932 ÷ 216
    21932 ÷ 65536     		y = 0.33465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814865112304688 × 2 - 1) × π
    0.629730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97835585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33465576171875 × 2 - 1) × π
    0.3306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03888848856586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97835585} λ = 1.97835585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03888848856586))-π/2
    2×atan(2.82607405433202)-π/2
    2×1.23069777159181-π/2
    2.46139554318362-1.57079632675     		φ = 0.89059922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97835585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.351441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89059922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.027577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53403 KachelY 21932 1.97835585 0.89059922 113.351441 51.027577
    Oben rechts KachelX + 1 53404 KachelY 21932 1.97845172 0.89059922 113.356934 51.027577
    Unten links KachelX 53403 KachelY + 1 21933 1.97835585 0.89053891 113.351441 51.024121
    Unten rechts KachelX + 1 53404 KachelY + 1 21933 1.97845172 0.89053891 113.356934 51.024121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89059922-0.89053891) × R
    6.03100000000634e-05 × 6371000     		dl = 384.235010000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89059922-0.89053891) × R
    6.03100000000634e-05 × 6371000     		dr = 384.235010000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97835585-1.97845172) × cos(0.89059922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628946276669221 × 6371000     		do = 384.152693776588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97835585-1.97845172) × cos(0.89053891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628993163460334 × 6371000     		du = 384.181331655175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89059922)-sin(0.89053891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628946276669221-0.628993163460334)×R²
    abs(1.97845172-1.97835585)×4.68867911127546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68867911127546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68867911127546e-05×40589641000000     		ar = 147610.416017309m²