Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5340 / 9508
↖ ↑ ↗
← N 60.042904°
W121.333008°		 ← 610.03 m → N 60.042904°
W121.322021°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N 60.037417°
W121.333008°		 ← 610.13 m →
372 201 m²		 N 60.037417°
W121.322021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162979125976562 y=0.290176391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162979125976562 × 215)
    floor (0.162979125976562 × 32768)
    floor (5340.5)     		tx = 5340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290176391601562 × 215)
    floor (0.290176391601562 × 32768)
    floor (9508.5)     		ty = 9508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5340 / 9508 ti = "15/5340/9508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5340/9508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5340 ÷ 215
    5340 ÷ 32768     		x = 0.1629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9508 ÷ 215
    9508 ÷ 32768     		y = 0.2901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11766048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2901611328125 × 2 - 1) × π
    0.419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31845648715002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11766048} λ = -2.11766048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31845648715002))-π/2
    2×atan(3.73764781519207)-π/2
    2×1.30937134351016-π/2
    2.61874268702033-1.57079632675     		φ = 1.04794636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11766048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04794636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.042904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5340 KachelY 9508 -2.11766048 1.04794636 -121.333008 60.042904
    Oben rechts KachelX + 1 5341 KachelY 9508 -2.11746873 1.04794636 -121.322021 60.042904
    Unten links KachelX 5340 KachelY + 1 9509 -2.11766048 1.04785060 -121.333008 60.037417
    Unten rechts KachelX + 1 5341 KachelY + 1 9509 -2.11746873 1.04785060 -121.322021 60.037417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04794636-1.04785060) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04794636-1.04785060) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11766048--2.11746873) × cos(1.04794636) × R
    0.000191749999999935 × 0.499351372435629 × 6371000     		do = 610.027236108526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11766048--2.11746873) × cos(1.04785060) × R
    0.000191749999999935 × 0.499434336568361 × 6371000     		du = 610.128588349413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04794636)-sin(1.04785060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499351372435629-0.499434336568361)×R²
    abs(-2.11746873--2.11766048)×8.29641327310671e-05×R²
    0.000191749999999935×8.29641327310671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.29641327310671e-05×40589641000000     		ar = 372200.579119632m²