Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5340 / 3605
↖ ↑ ↗
← N 80.139281°
W121.333008°		 ← 209.21 m → N 80.139281°
W121.322021°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 80.137400°
W121.333008°		 ← 209.25 m →
43 776 m²		 N 80.137400°
W121.322021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162979125976562 y=0.110031127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162979125976562 × 215)
    floor (0.162979125976562 × 32768)
    floor (5340.5)     		tx = 5340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110031127929688 × 215)
    floor (0.110031127929688 × 32768)
    floor (3605.5)     		ty = 3605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5340 / 3605 ti = "15/5340/3605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5340/3605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5340 ÷ 215
    5340 ÷ 32768     		x = 0.1629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3605 ÷ 215
    3605 ÷ 32768     		y = 0.110015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11766048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110015869140625 × 2 - 1) × π
    0.77996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45034256097879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11766048} λ = -2.11766048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45034256097879))-π/2
    2×atan(11.5923171146305)-π/2
    2×1.48474532315113-π/2
    2.96949064630225-1.57079632675     		φ = 1.39869432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11766048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39869432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.139281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5340 KachelY 3605 -2.11766048 1.39869432 -121.333008 80.139281
    Oben rechts KachelX + 1 5341 KachelY 3605 -2.11746873 1.39869432 -121.322021 80.139281
    Unten links KachelX 5340 KachelY + 1 3606 -2.11766048 1.39866148 -121.333008 80.137400
    Unten rechts KachelX + 1 5341 KachelY + 1 3606 -2.11746873 1.39866148 -121.322021 80.137400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39869432-1.39866148) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39869432-1.39866148) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11766048--2.11746873) × cos(1.39869432) × R
    0.000191749999999935 × 0.171253679658109 × 6371000     		do = 209.210216777201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11766048--2.11746873) × cos(1.39866148) × R
    0.000191749999999935 × 0.171286034419365 × 6371000     		du = 209.249742623477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39869432)-sin(1.39866148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171253679658109-0.171286034419365)×R²
    abs(-2.11746873--2.11766048)×3.235476125657e-05×R²
    0.000191749999999935×3.235476125657e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.235476125657e-05×40589641000000     		ar = 43775.857953647m²