Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53399 / 94165
↖ ↑ ↗
← S 61.550184°
W 33.335266°		 ← 145.50 m → S 61.550184°
W 33.332519°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
S 61.551493°
W 33.335266°		 ← 145.50 m →
21 172 m²		 S 61.551493°
W 33.332519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407405853271484 y=0.718425750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407405853271484 × 217)
    floor (0.407405853271484 × 131072)
    floor (53399.5)     		tx = 53399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718425750732422 × 217)
    floor (0.718425750732422 × 131072)
    floor (94165.5)     		ty = 94165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53399 / 94165 ti = "17/53399/94165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53399/94165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53399 ÷ 217
    53399 ÷ 131072     		x = 0.407402038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94165 ÷ 217
    94165 ÷ 131072     		y = 0.718421936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407402038574219 × 2 - 1) × π
    -0.185195922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.58181015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718421936035156 × 2 - 1) × π
    -0.436843872070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37238549922259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58181015} λ = -0.58181015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37238549922259))-π/2
    2×atan(0.253501510035124)-π/2
    2×0.24827147717352-π/2
    0.496542954347041-1.57079632675     		φ = -1.07425337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58181015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.335266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07425337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.550184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53399 KachelY 94165 -0.58181015 -1.07425337 -33.335266 -61.550184
    Oben rechts KachelX + 1 53400 KachelY 94165 -0.58176221 -1.07425337 -33.332519 -61.550184
    Unten links KachelX 53399 KachelY + 1 94166 -0.58181015 -1.07427621 -33.335266 -61.551493
    Unten rechts KachelX + 1 53400 KachelY + 1 94166 -0.58176221 -1.07427621 -33.332519 -61.551493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07425337--1.07427621) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07425337--1.07427621) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58181015--0.58176221) × cos(-1.07425337) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476388838974815 × 6371000     		do = 145.501413671865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58181015--0.58176221) × cos(-1.07427621) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476368757129798 × 6371000     		du = 145.49528015949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07425337)-sin(-1.07427621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476388838974815-0.476368757129798)×R²
    abs(-0.58176221--0.58181015)×2.00818450172835e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00818450172835e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00818450172835e-05×40589641000000     		ar = 21171.9940746704m²