Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53399 / 21957
↖ ↑ ↗
← N 50.941123°
E113.329468°		 ← 384.91 m → N 50.941123°
E113.334961°		 →
↑
384.87 m
↓
↑
384.87 m
↓
N 50.937662°
E113.329468°		 ← 384.94 m →
148 146 m²		 N 50.937662°
E113.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814811706542969 y=0.335044860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814811706542969 × 216)
    floor (0.814811706542969 × 65536)
    floor (53399.5)     		tx = 53399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335044860839844 × 216)
    floor (0.335044860839844 × 65536)
    floor (21957.5)     		ty = 21957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53399 / 21957 ti = "16/53399/21957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53399/21957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53399 ÷ 216
    53399 ÷ 65536     		x = 0.814804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21957 ÷ 216
    21957 ÷ 65536     		y = 0.335037231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814804077148438 × 2 - 1) × π
    0.629608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97797235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335037231445312 × 2 - 1) × π
    0.329925537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03649164358485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97797235} λ = 1.97797235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03649164358485))-π/2
    2×atan(2.81930850414539)-π/2
    2×1.2299433258031-π/2
    2.45988665160621-1.57079632675     		φ = 0.88909032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97797235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.329468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88909032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.941123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53399 KachelY 21957 1.97797235 0.88909032 113.329468 50.941123
    Oben rechts KachelX + 1 53400 KachelY 21957 1.97806823 0.88909032 113.334961 50.941123
    Unten links KachelX 53399 KachelY + 1 21958 1.97797235 0.88902991 113.329468 50.937662
    Unten rechts KachelX + 1 53400 KachelY + 1 21958 1.97806823 0.88902991 113.334961 50.937662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88909032-0.88902991) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dl = 384.872110000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88909032-0.88902991) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dr = 384.872110000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97797235-1.97806823) × cos(0.88909032) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.630118652678714 × 6371000     		do = 384.908911565038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97797235-1.97806823) × cos(0.88902991) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.630165559825205 × 6371000     		du = 384.937564864894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88909032)-sin(0.88902991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630118652678714-0.630165559825205)×R²
    abs(1.97806823-1.97797235)×4.69071464908044e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.69071464908044e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.69071464908044e-05×40589641000000     		ar = 148146.218925264m²