Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53398 / 94166
↖ ↑ ↗
← S 61.551493°
W 33.338013°		 ← 145.50 m → S 61.551493°
W 33.335266°		 →
↑
145.45 m
↓
↑
145.45 m
↓
S 61.552801°
W 33.338013°		 ← 145.49 m →
21 162 m²		 S 61.552801°
W 33.335266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407398223876953 y=0.718433380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407398223876953 × 217)
    floor (0.407398223876953 × 131072)
    floor (53398.5)     		tx = 53398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718433380126953 × 217)
    floor (0.718433380126953 × 131072)
    floor (94166.5)     		ty = 94166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53398 / 94166 ti = "17/53398/94166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53398/94166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53398 ÷ 217
    53398 ÷ 131072     		x = 0.407394409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94166 ÷ 217
    94166 ÷ 131072     		y = 0.718429565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407394409179688 × 2 - 1) × π
    -0.185211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58185809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718429565429688 × 2 - 1) × π
    -0.436859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37243343612221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58185809} λ = -0.58185809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37243343612221))-π/2
    2×atan(0.253489358249946)-π/2
    2×0.248260059112221-π/2
    0.496520118224441-1.57079632675     		φ = -1.07427621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58185809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.338013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07427621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.551493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53398 KachelY 94166 -0.58185809 -1.07427621 -33.338013 -61.551493
    Oben rechts KachelX + 1 53399 KachelY 94166 -0.58181015 -1.07427621 -33.335266 -61.551493
    Unten links KachelX 53398 KachelY + 1 94167 -0.58185809 -1.07429904 -33.338013 -61.552801
    Unten rechts KachelX + 1 53399 KachelY + 1 94167 -0.58181015 -1.07429904 -33.335266 -61.552801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07427621--1.07429904) × R
    2.28300000000292e-05 × 6371000     		dl = 145.449930000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07427621--1.07429904) × R
    2.28300000000292e-05 × 6371000     		dr = 145.449930000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58185809--0.58181015) × cos(-1.07427621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476368757129798 × 6371000     		do = 145.495280159153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58185809--0.58181015) × cos(-1.07429904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47634868382884 × 6371000     		du = 145.489149256354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07427621)-sin(-1.07429904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476368757129798-0.47634868382884)×R²
    abs(-0.58181015--0.58185809)×2.00733009578791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00733009578791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00733009578791e-05×40589641000000     		ar = 21161.8324456453m²