Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53397 / 21941
↖ ↑ ↗
← N 50.996472°
E113.318481°		 ← 384.45 m → N 50.996472°
E113.323975°		 →
↑
384.43 m
↓
↑
384.43 m
↓
N 50.993015°
E113.318481°		 ← 384.48 m →
147 798 m²		 N 50.993015°
E113.323975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814781188964844 y=0.334800720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814781188964844 × 216)
    floor (0.814781188964844 × 65536)
    floor (53397.5)     		tx = 53397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334800720214844 × 216)
    floor (0.334800720214844 × 65536)
    floor (21941.5)     		ty = 21941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53397 / 21941 ti = "16/53397/21941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53397/21941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53397 ÷ 216
    53397 ÷ 65536     		x = 0.814773559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21941 ÷ 216
    21941 ÷ 65536     		y = 0.334793090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814773559570312 × 2 - 1) × π
    0.629547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97778060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334793090820312 × 2 - 1) × π
    0.330413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0380256243727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97778060} λ = 1.97778060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0380256243727))-π/2
    2×atan(2.82363658797577)-π/2
    2×1.23042633295837-π/2
    2.46085266591674-1.57079632675     		φ = 0.89005634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97778060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.318481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89005634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.996472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53397 KachelY 21941 1.97778060 0.89005634 113.318481 50.996472
    Oben rechts KachelX + 1 53398 KachelY 21941 1.97787648 0.89005634 113.323975 50.996472
    Unten links KachelX 53397 KachelY + 1 21942 1.97778060 0.88999600 113.318481 50.993015
    Unten rechts KachelX + 1 53398 KachelY + 1 21942 1.97787648 0.88999600 113.323975 50.993015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89005634-0.88999600) × R
    6.03399999999921e-05 × 6371000     		dl = 384.426139999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89005634-0.88999600) × R
    6.03399999999921e-05 × 6371000     		dr = 384.426139999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97778060-1.97787648) × cos(0.89005634) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.629368245352526 × 6371000     		do = 384.450524138341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97778060-1.97787648) × cos(0.88999600) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.629415134855652 × 6371000     		du = 384.479166660722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89005634)-sin(0.88999600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629368245352526-0.629415134855652)×R²
    abs(1.97787648-1.97778060)×4.68895031258132e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.68895031258132e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.68895031258132e-05×40589641000000     		ar = 147798.336527212m²