Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53390 / 21970
↖ ↑ ↗
← N 50.896104°
E113.280029°		 ← 385.24 m → N 50.896104°
E113.285522°		 →
↑
385.25 m
↓
↑
385.25 m
↓
N 50.892639°
E113.280029°		 ← 385.27 m →
148 421 m²		 N 50.892639°
E113.285522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814674377441406 y=0.335243225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814674377441406 × 216)
    floor (0.814674377441406 × 65536)
    floor (53390.5)     		tx = 53390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335243225097656 × 216)
    floor (0.335243225097656 × 65536)
    floor (21970.5)     		ty = 21970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53390 / 21970 ti = "16/53390/21970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53390/21970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53390 ÷ 216
    53390 ÷ 65536     		x = 0.814666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21970 ÷ 216
    21970 ÷ 65536     		y = 0.335235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814666748046875 × 2 - 1) × π
    0.62933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97710949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335235595703125 × 2 - 1) × π
    0.32952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03524528419473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97710949} λ = 1.97710949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03524528419473))-π/2
    2×atan(2.81579682138158)-π/2
    2×1.22955045861889-π/2
    2.45910091723778-1.57079632675     		φ = 0.88830459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97710949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88830459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.896104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53390 KachelY 21970 1.97710949 0.88830459 113.280029 50.896104
    Oben rechts KachelX + 1 53391 KachelY 21970 1.97720536 0.88830459 113.285522 50.896104
    Unten links KachelX 53390 KachelY + 1 21971 1.97710949 0.88824412 113.280029 50.892639
    Unten rechts KachelX + 1 53391 KachelY + 1 21971 1.97720536 0.88824412 113.285522 50.892639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88830459-0.88824412) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dl = 385.254369999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88830459-0.88824412) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dr = 385.254369999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97710949-1.97720536) × cos(0.88830459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		do = 385.24130075145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97710949-1.97720536) × cos(0.88824412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		du = 385.269961222179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88830459)-sin(0.88824412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630728576558529-0.630775500338174)×R²
    abs(1.97720536-1.97710949)×4.69237796448807e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69237796448807e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69237796448807e-05×40589641000000     		ar = 148421.415450183m²