Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5339 / 9507
↖ ↑ ↗
← N 60.048389°
W121.343994°		 ← 609.93 m → N 60.048389°
W121.333008°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N 60.042904°
W121.343994°		 ← 610.03 m →
372 061 m²		 N 60.042904°
W121.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162948608398438 y=0.290145874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162948608398438 × 215)
    floor (0.162948608398438 × 32768)
    floor (5339.5)     		tx = 5339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290145874023438 × 215)
    floor (0.290145874023438 × 32768)
    floor (9507.5)     		ty = 9507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5339 / 9507 ti = "15/5339/9507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5339/9507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5339 ÷ 215
    5339 ÷ 32768     		x = 0.162933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9507 ÷ 215
    9507 ÷ 32768     		y = 0.290130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.67413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11785223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290130615234375 × 2 - 1) × π
    0.41973876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3186482347485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11785223} λ = -2.11785223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3186482347485))-π/2
    2×atan(3.7383645689003)-π/2
    2×1.30941921424681-π/2
    2.61883842849362-1.57079632675     		φ = 1.04804210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11785223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04804210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.048389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5339 KachelY 9507 -2.11785223 1.04804210 -121.343994 60.048389
    Oben rechts KachelX + 1 5340 KachelY 9507 -2.11766048 1.04804210 -121.333008 60.048389
    Unten links KachelX 5339 KachelY + 1 9508 -2.11785223 1.04794636 -121.343994 60.042904
    Unten rechts KachelX + 1 5340 KachelY + 1 9508 -2.11766048 1.04794636 -121.333008 60.042904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04804210-1.04794636) × R
    9.57399999998998e-05 × 6371000     		dl = 609.959539999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04804210-1.04794636) × R
    9.57399999998998e-05 × 6371000     		dr = 609.959539999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11785223--2.11766048) × cos(1.04804210) × R
    0.000191749999999935 × 0.499268421052805 × 6371000     		do = 609.925899443426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11785223--2.11766048) × cos(1.04794636) × R
    0.000191749999999935 × 0.499351372435629 × 6371000     		du = 610.027236108526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04804210)-sin(1.04794636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499268421052805-0.499351372435629)×R²
    abs(-2.11766048--2.11785223)×8.29513828244366e-05×R²
    0.000191749999999935×8.29513828244366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.29513828244366e-05×40589641000000     		ar = 372061.026974995m²