Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53385 / 50294
↖ ↑ ↗
← S 68.891231°
E113.252564°		 ← 219.97 m → S 68.891231°
E113.258056°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 68.893209°
E113.252564°		 ← 219.95 m →
48 389 m²		 S 68.893209°
E113.258056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814598083496094 y=0.767433166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814598083496094 × 216)
    floor (0.814598083496094 × 65536)
    floor (53385.5)     		tx = 53385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767433166503906 × 216)
    floor (0.767433166503906 × 65536)
    floor (50294.5)     		ty = 50294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53385 / 50294 ti = "16/53385/50294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53385/50294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53385 ÷ 216
    53385 ÷ 65536     		x = 0.814590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50294 ÷ 216
    50294 ÷ 65536     		y = 0.767425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814590454101562 × 2 - 1) × π
    0.629180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97663012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.53485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68028420548221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97663012} λ = 1.97663012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68028420548221))-π/2
    2×atan(0.186321015059935)-π/2
    2×0.18420876327069-π/2
    0.368417526541381-1.57079632675     		φ = -1.20237880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97663012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.252564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20237880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.891231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53385 KachelY 50294 1.97663012 -1.20237880 113.252564 -68.891231
    Oben rechts KachelX + 1 53386 KachelY 50294 1.97672599 -1.20237880 113.258056 -68.891231
    Unten links KachelX 53385 KachelY + 1 50295 1.97663012 -1.20241333 113.252564 -68.893209
    Unten rechts KachelX + 1 53386 KachelY + 1 50295 1.97672599 -1.20241333 113.258056 -68.893209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20237880--1.20241333) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20237880--1.20241333) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97663012-1.97672599) × cos(-1.20237880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360139596755471 × 6371000     		do = 219.968861190968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97663012-1.97672599) × cos(-1.20241333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360107383558171 × 6371000     		du = 219.949185764025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20237880)-sin(-1.20241333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360139596755471-0.360107383558171)×R²
    abs(1.97672599-1.97663012)×3.22131973001794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22131973001794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22131973001794e-05×40589641000000     		ar = 48388.9241540451m²