Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53384 / 50296
↖ ↑ ↗
← S 68.895187°
E113.247071°		 ← 219.93 m → S 68.895187°
E113.252564°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
S 68.897165°
E113.247071°		 ← 219.91 m →
48 366 m²		 S 68.897165°
E113.252564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814582824707031 y=0.767463684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814582824707031 × 216)
    floor (0.814582824707031 × 65536)
    floor (53384.5)     		tx = 53384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767463684082031 × 216)
    floor (0.767463684082031 × 65536)
    floor (50296.5)     		ty = 50296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53384 / 50296 ti = "16/53384/50296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53384/50296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53384 ÷ 216
    53384 ÷ 65536     		x = 0.8145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50296 ÷ 216
    50296 ÷ 65536     		y = 0.7674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8145751953125 × 2 - 1) × π
    0.629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97653425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68047595308069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97653425} λ = 1.97653425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68047595308069))-π/2
    2×atan(0.186285291877778)-π/2
    2×0.184174238407356-π/2
    0.368348476814713-1.57079632675     		φ = -1.20244785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97653425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.247071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20244785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.895187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53384 KachelY 50296 1.97653425 -1.20244785 113.247071 -68.895187
    Oben rechts KachelX + 1 53385 KachelY 50296 1.97663012 -1.20244785 113.252564 -68.895187
    Unten links KachelX 53384 KachelY + 1 50297 1.97653425 -1.20248237 113.247071 -68.897165
    Unten rechts KachelX + 1 53385 KachelY + 1 50297 1.97663012 -1.20248237 113.252564 -68.897165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20244785--1.20248237) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dl = 219.926920000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20244785--1.20248237) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dr = 219.926920000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97653425-1.97663012) × cos(-1.20244785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36007517926074 × 6371000     		do = 219.929515773013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97653425-1.97663012) × cos(-1.20248237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		du = 219.909845519926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20244785)-sin(-1.20248237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36007517926074-0.360042974534232)×R²
    abs(1.97663012-1.97653425)×3.22047265074454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22047265074454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22047265074454e-05×40589641000000     		ar = 48366.2580168362m²