Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53383 / 50299
↖ ↑ ↗
← S 68.901120°
E113.241577°		 ← 219.89 m → S 68.901120°
E113.247071°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
S 68.903097°
E113.241577°		 ← 219.87 m →
48 344 m²		 S 68.903097°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814567565917969 y=0.767509460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814567565917969 × 216)
    floor (0.814567565917969 × 65536)
    floor (53383.5)     		tx = 53383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767509460449219 × 216)
    floor (0.767509460449219 × 65536)
    floor (50299.5)     		ty = 50299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53383 / 50299 ti = "16/53383/50299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53383/50299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53383 ÷ 216
    53383 ÷ 65536     		x = 0.814559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50299 ÷ 216
    50299 ÷ 65536     		y = 0.767501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814559936523438 × 2 - 1) × π
    0.629119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97643837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767501831054688 × 2 - 1) × π
    -0.535003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68076357447841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97643837} λ = 1.97643837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68076357447841))-π/2
    2×atan(0.18623171994634)-π/2
    2×0.184122462691041-π/2
    0.368244925382081-1.57079632675     		φ = -1.20255140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97643837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20255140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.901120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53383 KachelY 50299 1.97643837 -1.20255140 113.241577 -68.901120
    Oben rechts KachelX + 1 53384 KachelY 50299 1.97653425 -1.20255140 113.247071 -68.901120
    Unten links KachelX 53383 KachelY + 1 50300 1.97643837 -1.20258591 113.241577 -68.903097
    Unten rechts KachelX + 1 53384 KachelY + 1 50300 1.97653425 -1.20258591 113.247071 -68.903097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20255140--1.20258591) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dl = 219.863210000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20255140--1.20258591) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dr = 219.863210000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(-1.20255140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359978573123747 × 6371000     		do = 219.893444160785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(-1.20258591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359946376440095 × 6371000     		du = 219.873776768925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20255140)-sin(-1.20258591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359978573123747-0.359946376440095)×R²
    abs(1.97653425-1.97643837)×3.21966836526189e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21966836526189e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21966836526189e-05×40589641000000     		ar = 48344.316428068m²