Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53383 / 50292
↖ ↑ ↗
← S 68.887274°
E113.241577°		 ← 220.03 m → S 68.887274°
E113.247071°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 68.889252°
E113.241577°		 ← 220.01 m →
48 403 m²		 S 68.889252°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814567565917969 y=0.767402648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814567565917969 × 216)
    floor (0.814567565917969 × 65536)
    floor (53383.5)     		tx = 53383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767402648925781 × 216)
    floor (0.767402648925781 × 65536)
    floor (50292.5)     		ty = 50292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53383 / 50292 ti = "16/53383/50292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53383/50292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53383 ÷ 216
    53383 ÷ 65536     		x = 0.814559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50292 ÷ 216
    50292 ÷ 65536     		y = 0.76739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814559936523438 × 2 - 1) × π
    0.629119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97643837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.5347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68009245788373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97643837} λ = 1.97643837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68009245788373))-π/2
    2×atan(0.186356745092584)-π/2
    2×0.18424329431042-π/2
    0.36848658862084-1.57079632675     		φ = -1.20230974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97643837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20230974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.887274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53383 KachelY 50292 1.97643837 -1.20230974 113.241577 -68.887274
    Oben rechts KachelX + 1 53384 KachelY 50292 1.97653425 -1.20230974 113.247071 -68.887274
    Unten links KachelX 53383 KachelY + 1 50293 1.97643837 -1.20234427 113.241577 -68.889252
    Unten rechts KachelX + 1 53384 KachelY + 1 50293 1.97653425 -1.20234427 113.247071 -68.889252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20230974--1.20234427) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20230974--1.20234427) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(-1.20230974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		do = 220.031159856105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(-1.20234427) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360171809523369 × 6371000     		du = 220.011482901484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20230974)-sin(-1.20234427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360204021861827-0.360171809523369)×R²
    abs(1.97653425-1.97643837)×3.22123384578488e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22123384578488e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22123384578488e-05×40589641000000     		ar = 48402.6291080318m²