Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53383 / 21966
↖ ↑ ↗
← N 50.909961°
E113.241577°		 ← 385.17 m → N 50.909961°
E113.247071°		 →
↑
385.19 m
↓
↑
385.19 m
↓
N 50.906497°
E113.241577°		 ← 385.20 m →
148 368 m²		 N 50.906497°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814567565917969 y=0.335182189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814567565917969 × 216)
    floor (0.814567565917969 × 65536)
    floor (53383.5)     		tx = 53383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335182189941406 × 216)
    floor (0.335182189941406 × 65536)
    floor (21966.5)     		ty = 21966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53383 / 21966 ti = "16/53383/21966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53383/21966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53383 ÷ 216
    53383 ÷ 65536     		x = 0.814559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21966 ÷ 216
    21966 ÷ 65536     		y = 0.335174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814559936523438 × 2 - 1) × π
    0.629119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97643837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335174560546875 × 2 - 1) × π
    0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97643837} λ = 1.97643837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03562877939169))-π/2
    2×atan(2.81687687302227)-π/2
    2×1.22967138131369-π/2
    2.45934276262738-1.57079632675     		φ = 0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97643837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53383 KachelY 21966 1.97643837 0.88854644 113.241577 50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 53384 KachelY 21966 1.97653425 0.88854644 113.247071 50.909961
    Unten links KachelX 53383 KachelY + 1 21967 1.97643837 0.88848598 113.241577 50.906497
    Unten rechts KachelX + 1 53384 KachelY + 1 21967 1.97653425 0.88848598 113.247071 50.906497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88854644-0.88848598) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dl = 385.190660000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88854644-0.88848598) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dr = 385.190660000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(0.88854644) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 385.166830764092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97643837-1.97653425) × cos(0.88848598) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.630587806904628 × 6371000     		du = 385.195495117393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88854644)-sin(0.88848598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630587806904628)×R²
    abs(1.97653425-1.97643837)×4.6925241633522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.6925241633522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.6925241633522e-05×40589641000000     		ar = 148368.186417977m²