Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53378 / 102534
↖ ↑ ↗
← S 70.734418°
W 33.392945°		 ← 100.77 m → S 70.734418°
W 33.390198°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 70.735324°
W 33.392945°		 ← 100.77 m →
10 157 m²		 S 70.735324°
W 33.390198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407245635986328 y=0.782276153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407245635986328 × 217)
    floor (0.407245635986328 × 131072)
    floor (53378.5)     		tx = 53378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782276153564453 × 217)
    floor (0.782276153564453 × 131072)
    floor (102534.5)     		ty = 102534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53378 / 102534 ti = "17/53378/102534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53378/102534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53378 ÷ 217
    53378 ÷ 131072     		x = 0.407241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102534 ÷ 217
    102534 ÷ 131072     		y = 0.782272338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.185516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58281683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782272338867188 × 2 - 1) × π
    -0.564544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77356941214284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58281683} λ = -0.58281683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77356941214284))-π/2
    2×atan(0.169726083977902)-π/2
    2×0.168123922904148-π/2
    0.336247845808295-1.57079632675     		φ = -1.23454848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58281683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.392945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23454848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.734418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53378 KachelY 102534 -0.58281683 -1.23454848 -33.392945 -70.734418
    Oben rechts KachelX + 1 53379 KachelY 102534 -0.58276889 -1.23454848 -33.390198 -70.734418
    Unten links KachelX 53378 KachelY + 1 102535 -0.58281683 -1.23456430 -33.392945 -70.735324
    Unten rechts KachelX + 1 53379 KachelY + 1 102535 -0.58276889 -1.23456430 -33.390198 -70.735324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23454848--1.23456430) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23454848--1.23456430) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58281683--0.58276889) × cos(-1.23454848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329947392979248 × 6371000     		do = 100.774426661691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58281683--0.58276889) × cos(-1.23456430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329932458868703 × 6371000     		du = 100.769865399927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23454848)-sin(-1.23456430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329947392979248-0.329932458868703)×R²
    abs(-0.58276889--0.58281683)×1.49341105444289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49341105444289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49341105444289e-05×40589641000000     		ar = 10156.7459963038m²