Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53373 / 50295
↖ ↑ ↗
← S 68.893209°
E113.186645°		 ← 219.97 m → S 68.893209°
E113.192139°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
S 68.895187°
E113.186645°		 ← 219.95 m →
48 376 m²		 S 68.895187°
E113.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814414978027344 y=0.767448425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814414978027344 × 216)
    floor (0.814414978027344 × 65536)
    floor (53373.5)     		tx = 53373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767448425292969 × 216)
    floor (0.767448425292969 × 65536)
    floor (50295.5)     		ty = 50295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53373 / 50295 ti = "16/53373/50295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53373/50295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53373 ÷ 216
    53373 ÷ 65536     		x = 0.814407348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50295 ÷ 216
    50295 ÷ 65536     		y = 0.767440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814407348632812 × 2 - 1) × π
    0.628814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97547963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.534881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68038007928145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97547963} λ = 1.97547963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68038007928145))-π/2
    2×atan(0.186303152612627)-π/2
    2×0.184191500067033-π/2
    0.368383000134065-1.57079632675     		φ = -1.20241333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97547963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.186645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20241333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.893209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53373 KachelY 50295 1.97547963 -1.20241333 113.186645 -68.893209
    Oben rechts KachelX + 1 53374 KachelY 50295 1.97557551 -1.20241333 113.192139 -68.893209
    Unten links KachelX 53373 KachelY + 1 50296 1.97547963 -1.20244785 113.186645 -68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 53374 KachelY + 1 50296 1.97557551 -1.20244785 113.192139 -68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20241333--1.20244785) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dl = 219.926920000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20241333--1.20244785) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dr = 219.926920000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97547963-1.97557551) × cos(-1.20241333) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.360107383558171 × 6371000     		do = 219.972128205801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97547963-1.97557551) × cos(-1.20244785) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 219.952456163053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20241333)-sin(-1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360107383558171-0.36007517926074)×R²
    abs(1.97557551-1.97547963)×3.22042974309489e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.22042974309489e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.22042974309489e-05×40589641000000     		ar = 48375.6294410549m²