Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53373 / 22781
↖ ↑ ↗
← N 48.000949°
E113.186645°		 ← 408.73 m → N 48.000949°
E113.192139°		 →
↑
408.70 m
↓
↑
408.70 m
↓
N 47.997274°
E113.186645°		 ← 408.76 m →
167 055 m²		 N 47.997274°
E113.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814414978027344 y=0.347618103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814414978027344 × 216)
    floor (0.814414978027344 × 65536)
    floor (53373.5)     		tx = 53373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347618103027344 × 216)
    floor (0.347618103027344 × 65536)
    floor (22781.5)     		ty = 22781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53373 / 22781 ti = "16/53373/22781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53373/22781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53373 ÷ 216
    53373 ÷ 65536     		x = 0.814407348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22781 ÷ 216
    22781 ÷ 65536     		y = 0.347610473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814407348632812 × 2 - 1) × π
    0.628814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97547963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347610473632812 × 2 - 1) × π
    0.304779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.957491633011002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97547963} λ = 1.97547963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957491633011002))-π/2
    2×atan(2.60515358961138)-π/2
    2×1.20428547047668-π/2
    2.40857094095336-1.57079632675     		φ = 0.83777461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97547963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.186645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83777461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.000949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53373 KachelY 22781 1.97547963 0.83777461 113.186645 48.000949
    Oben rechts KachelX + 1 53374 KachelY 22781 1.97557551 0.83777461 113.192139 48.000949
    Unten links KachelX 53373 KachelY + 1 22782 1.97547963 0.83771046 113.186645 47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 53374 KachelY + 1 22782 1.97557551 0.83771046 113.192139 47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83777461-0.83771046) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dl = 408.699649999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83777461-0.83771046) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dr = 408.699649999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97547963-1.97557551) × cos(0.83777461) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.669118293068648 × 6371000     		do = 408.731899616736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97547963-1.97557551) × cos(0.83771046) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 408.761020174275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83777461)-sin(0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669118293068648-0.669165965143599)×R²
    abs(1.97557551-1.97547963)×4.76720749514881e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.76720749514881e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.76720749514881e-05×40589641000000     		ar = 167054.535155316m²