Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53370 / 22746
↖ ↑ ↗
← N 48.129435°
E113.170166°		 ← 407.71 m → N 48.129435°
E113.175659°		 →
↑
407.74 m
↓
↑
407.74 m
↓
N 48.125768°
E113.170166°		 ← 407.74 m →
166 248 m²		 N 48.125768°
E113.175659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814369201660156 y=0.347084045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814369201660156 × 216)
    floor (0.814369201660156 × 65536)
    floor (53370.5)     		tx = 53370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347084045410156 × 216)
    floor (0.347084045410156 × 65536)
    floor (22746.5)     		ty = 22746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53370 / 22746 ti = "16/53370/22746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53370/22746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53370 ÷ 216
    53370 ÷ 65536     		x = 0.814361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22746 ÷ 216
    22746 ÷ 65536     		y = 0.347076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814361572265625 × 2 - 1) × π
    0.62872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97519201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347076416015625 × 2 - 1) × π
    0.30584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960847215984406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97519201} λ = 1.97519201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960847215984406))-π/2
    2×atan(2.61391008199169)-π/2
    2×1.20540671189284-π/2
    2.41081342378567-1.57079632675     		φ = 0.84001710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97519201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84001710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.129435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53370 KachelY 22746 1.97519201 0.84001710 113.170166 48.129435
    Oben rechts KachelX + 1 53371 KachelY 22746 1.97528789 0.84001710 113.175659 48.129435
    Unten links KachelX 53370 KachelY + 1 22747 1.97519201 0.83995310 113.170166 48.125768
    Unten rechts KachelX + 1 53371 KachelY + 1 22747 1.97528789 0.83995310 113.175659 48.125768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84001710-0.83995310) × R
    6.3999999999953e-05 × 6371000     		dl = 407.7439999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84001710-0.83995310) × R
    6.3999999999953e-05 × 6371000     		dr = 407.7439999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97519201-1.97528789) × cos(0.84001710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.667450092346371 × 6371000     		do = 407.71287673565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97519201-1.97528789) × cos(0.83995310) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.667497748869543 × 6371000     		du = 407.741987793361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84001710)-sin(0.83995310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667450092346371-0.667497748869543)×R²
    abs(1.97528789-1.97519201)×4.76565231720683e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76565231720683e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76565231720683e-05×40589641000000     		ar = 166248.41419761m²