Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5337 / 9464
↖ ↑ ↗
← N 60.283408°
W121.365967°		 ← 605.58 m → N 60.283408°
W121.354980°		 →
↑
605.63 m
↓
↑
605.63 m
↓
N 60.277962°
W121.365967°		 ← 605.68 m →
366 786 m²		 N 60.277962°
W121.354980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162887573242188 y=0.288833618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162887573242188 × 215)
    floor (0.162887573242188 × 32768)
    floor (5337.5)     		tx = 5337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288833618164062 × 215)
    floor (0.288833618164062 × 32768)
    floor (9464.5)     		ty = 9464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5337 / 9464 ti = "15/5337/9464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5337/9464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5337 ÷ 215
    5337 ÷ 32768     		x = 0.162872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9464 ÷ 215
    9464 ÷ 32768     		y = 0.288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.67425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11823572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288818359375 × 2 - 1) × π
    0.42236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11823572} λ = -2.11823572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32689338148315))-π/2
    2×atan(3.76931535486209)-π/2
    2×1.31147014452339-π/2
    2.62294028904679-1.57079632675     		φ = 1.05214396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11823572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05214396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.283408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5337 KachelY 9464 -2.11823572 1.05214396 -121.365967 60.283408
    Oben rechts KachelX + 1 5338 KachelY 9464 -2.11804397 1.05214396 -121.354980 60.283408
    Unten links KachelX 5337 KachelY + 1 9465 -2.11823572 1.05204890 -121.365967 60.277962
    Unten rechts KachelX + 1 5338 KachelY + 1 9465 -2.11804397 1.05204890 -121.354980 60.277962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05214396-1.05204890) × R
    9.50600000000357e-05 × 6371000     		dl = 605.627260000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05214396-1.05204890) × R
    9.50600000000357e-05 × 6371000     		dr = 605.627260000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11823572--2.11804397) × cos(1.05214396) × R
    0.000191749999999935 × 0.495710185059438 × 6371000     		do = 605.579018693168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11823572--2.11804397) × cos(1.05204890) × R
    0.000191749999999935 × 0.495792741289219 × 6371000     		du = 605.679872623801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05214396)-sin(1.05204890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495710185059438-0.495792741289219)×R²
    abs(-2.11804397--2.11823572)×8.25562297809834e-05×R²
    0.000191749999999935×8.25562297809834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.25562297809834e-05×40589641000000     		ar = 366785.702025603m²