Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5337 / 9463
↖ ↑ ↗
← N 60.288854°
W121.365967°		 ← 605.48 m → N 60.288854°
W121.354980°		 →
↑
605.56 m
↓
↑
605.56 m
↓
N 60.283408°
W121.365967°		 ← 605.58 m →
366 686 m²		 N 60.283408°
W121.354980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162887573242188 y=0.288803100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162887573242188 × 215)
    floor (0.162887573242188 × 32768)
    floor (5337.5)     		tx = 5337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288803100585938 × 215)
    floor (0.288803100585938 × 32768)
    floor (9463.5)     		ty = 9463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5337 / 9463 ti = "15/5337/9463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5337/9463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5337 ÷ 215
    5337 ÷ 32768     		x = 0.162872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9463 ÷ 215
    9463 ÷ 32768     		y = 0.288787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.67425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11823572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288787841796875 × 2 - 1) × π
    0.42242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32708512908163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11823572} λ = -2.11823572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32708512908163))-π/2
    2×atan(3.77003818132721)-π/2
    2×1.31151766618489-π/2
    2.62303533236977-1.57079632675     		φ = 1.05223901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11823572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05223901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.288854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5337 KachelY 9463 -2.11823572 1.05223901 -121.365967 60.288854
    Oben rechts KachelX + 1 5338 KachelY 9463 -2.11804397 1.05223901 -121.354980 60.288854
    Unten links KachelX 5337 KachelY + 1 9464 -2.11823572 1.05214396 -121.365967 60.283408
    Unten rechts KachelX + 1 5338 KachelY + 1 9464 -2.11804397 1.05214396 -121.354980 60.283408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05223901-1.05214396) × R
    9.50500000000964e-05 × 6371000     		dl = 605.563550000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05223901-1.05214396) × R
    9.50500000000964e-05 × 6371000     		dr = 605.563550000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11823572--2.11804397) × cos(1.05223901) × R
    0.000191749999999935 × 0.495627633035571 × 6371000     		do = 605.478169900645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11823572--2.11804397) × cos(1.05214396) × R
    0.000191749999999935 × 0.495710185059438 × 6371000     		du = 605.579018693168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05223901)-sin(1.05214396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495627633035571-0.495710185059438)×R²
    abs(-2.11804397--2.11823572)×8.25520238670885e-05×R²
    0.000191749999999935×8.25520238670885e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.25520238670885e-05×40589641000000     		ar = 366686.045465757m²