Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53368 / 94104
↖ ↑ ↗
← S 61.470267°
W 33.420410°		 ← 145.85 m → S 61.470267°
W 33.417664°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
S 61.471578°
W 33.420410°		 ← 145.84 m →
21 269 m²		 S 61.471578°
W 33.417664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407169342041016 y=0.717960357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407169342041016 × 217)
    floor (0.407169342041016 × 131072)
    floor (53368.5)     		tx = 53368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717960357666016 × 217)
    floor (0.717960357666016 × 131072)
    floor (94104.5)     		ty = 94104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53368 / 94104 ti = "17/53368/94104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53368/94104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53368 ÷ 217
    53368 ÷ 131072     		x = 0.40716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94104 ÷ 217
    94104 ÷ 131072     		y = 0.71795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.4359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36946134834576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58329619} λ = -0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36946134834576))-π/2
    2×atan(0.254243871557545)-π/2
    2×0.248968889509874-π/2
    0.497937779019749-1.57079632675     		φ = -1.07285855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07285855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.470267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53368 KachelY 94104 -0.58329619 -1.07285855 -33.420410 -61.470267
    Oben rechts KachelX + 1 53369 KachelY 94104 -0.58324826 -1.07285855 -33.417664 -61.470267
    Unten links KachelX 53368 KachelY + 1 94105 -0.58329619 -1.07288144 -33.420410 -61.471578
    Unten rechts KachelX + 1 53369 KachelY + 1 94105 -0.58324826 -1.07288144 -33.417664 -61.471578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07285855--1.07288144) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07285855--1.07288144) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58329619--0.58324826) × cos(-1.07285855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477614749321828 × 6371000     		do = 145.845409410944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58329619--0.58324826) × cos(-1.07288144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477594638743653 × 6371000     		du = 145.839268403968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07285855)-sin(-1.07288144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477614749321828-0.477594638743653)×R²
    abs(-0.58324826--0.58329619)×2.01105781746924e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01105781746924e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01105781746924e-05×40589641000000     		ar = 21268.5076785359m²