Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53367 / 93979
↖ ↑ ↗
← S 61.305858°
W 33.423157°		 ← 146.65 m → S 61.305858°
W 33.420410°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.307177°
W 33.423157°		 ← 146.64 m →
21 507 m²		 S 61.307177°
W 33.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407161712646484 y=0.717006683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407161712646484 × 217)
    floor (0.407161712646484 × 131072)
    floor (53367.5)     		tx = 53367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717006683349609 × 217)
    floor (0.717006683349609 × 131072)
    floor (93979.5)     		ty = 93979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53367 / 93979 ti = "17/53367/93979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53367/93979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53367 ÷ 217
    53367 ÷ 131072     		x = 0.407157897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93979 ÷ 217
    93979 ÷ 131072     		y = 0.717002868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407157897949219 × 2 - 1) × π
    -0.185684204101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.58334413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717002868652344 × 2 - 1) × π
    -0.434005737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.36346923589326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58334413} λ = -0.58334413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36346923589326))-π/2
    2×atan(0.255771902922115)-π/2
    2×0.250403621447907-π/2
    0.500807242895813-1.57079632675     		φ = -1.06998908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58334413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.423157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06998908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.305858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53367 KachelY 93979 -0.58334413 -1.06998908 -33.423157 -61.305858
    Oben rechts KachelX + 1 53368 KachelY 93979 -0.58329619 -1.06998908 -33.420410 -61.305858
    Unten links KachelX 53367 KachelY + 1 93980 -0.58334413 -1.07001210 -33.423157 -61.307177
    Unten rechts KachelX + 1 53368 KachelY + 1 93980 -0.58329619 -1.07001210 -33.420410 -61.307177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06998908--1.07001210) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06998908--1.07001210) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58334413--0.58329619) × cos(-1.06998908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480133808029414 × 6371000     		do = 146.645223616306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58334413--0.58329619) × cos(-1.07001210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480113614867285 × 6371000     		du = 146.639056104819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06998908)-sin(-1.07001210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480133808029414-0.480113614867285)×R²
    abs(-0.58329619--0.58334413)×2.01931621288676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01931621288676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01931621288676e-05×40589641000000     		ar = 21506.5978224345m²