Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53367 / 22569
↖ ↑ ↗
← N 48.774293°
E113.153686°		 ← 402.53 m → N 48.774293°
E113.159179°		 →
↑
402.58 m
↓
↑
402.58 m
↓
N 48.770672°
E113.153686°		 ← 402.55 m →
162 056 m²		 N 48.770672°
E113.159179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814323425292969 y=0.344383239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814323425292969 × 216)
    floor (0.814323425292969 × 65536)
    floor (53367.5)     		tx = 53367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344383239746094 × 216)
    floor (0.344383239746094 × 65536)
    floor (22569.5)     		ty = 22569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53367 / 22569 ti = "16/53367/22569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53367/22569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53367 ÷ 216
    53367 ÷ 65536     		x = 0.814315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22569 ÷ 216
    22569 ÷ 65536     		y = 0.344375610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814315795898438 × 2 - 1) × π
    0.628631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97490439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344375610351562 × 2 - 1) × π
    0.311248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977816878449905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97490439} λ = 1.97490439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977816878449905))-π/2
    2×atan(2.65864575489585)-π/2
    2×1.21103416273387-π/2
    2.42206832546773-1.57079632675     		φ = 0.85127200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97490439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85127200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.774293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53367 KachelY 22569 1.97490439 0.85127200 113.153686 48.774293
    Oben rechts KachelX + 1 53368 KachelY 22569 1.97500026 0.85127200 113.159179 48.774293
    Unten links KachelX 53367 KachelY + 1 22570 1.97490439 0.85120881 113.153686 48.770672
    Unten rechts KachelX + 1 53368 KachelY + 1 22570 1.97500026 0.85120881 113.159179 48.770672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85127200-0.85120881) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dl = 402.583489999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85127200-0.85120881) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dr = 402.583489999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97490439-1.97500026) × cos(0.85127200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		do = 402.52562165008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97490439-1.97500026) × cos(0.85120881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659074508648853 × 6371000     		du = 402.55464940147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85127200)-sin(0.85120881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659026983546329-0.659074508648853)×R²
    abs(1.97500026-1.97490439)×4.75251025239265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75251025239265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75251025239265e-05×40589641000000     		ar = 162056.012678874m²