Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53364 / 94148
↖ ↑ ↗
← S 61.527933°
W 33.431396°		 ← 145.58 m → S 61.527933°
W 33.428650°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
S 61.529242°
W 33.431396°		 ← 145.57 m →
21 192 m²		 S 61.529242°
W 33.428650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407138824462891 y=0.718296051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407138824462891 × 217)
    floor (0.407138824462891 × 131072)
    floor (53364.5)     		tx = 53364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718296051025391 × 217)
    floor (0.718296051025391 × 131072)
    floor (94148.5)     		ty = 94148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53364 / 94148 ti = "17/53364/94148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53364/94148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53364 ÷ 217
    53364 ÷ 131072     		x = 0.407135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94148 ÷ 217
    94148 ÷ 131072     		y = 0.718292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.18572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58348794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.43658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37157057192905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58348794} λ = -0.58348794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37157057192905))-π/2
    2×atan(0.253708179533476)-π/2
    2×0.248465657859498-π/2
    0.496931315718996-1.57079632675     		φ = -1.07386501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58348794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.431396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07386501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.527933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53364 KachelY 94148 -0.58348794 -1.07386501 -33.431396 -61.527933
    Oben rechts KachelX + 1 53365 KachelY 94148 -0.58344001 -1.07386501 -33.428650 -61.527933
    Unten links KachelX 53364 KachelY + 1 94149 -0.58348794 -1.07388786 -33.431396 -61.529242
    Unten rechts KachelX + 1 53365 KachelY + 1 94149 -0.58344001 -1.07388786 -33.428650 -61.529242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07386501--1.07388786) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07386501--1.07388786) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58348794--0.58344001) × cos(-1.07386501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476730262632637 × 6371000     		do = 145.575320760024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58348794--0.58344001) × cos(-1.07388786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476710176224076 × 6371000     		du = 145.569187133531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07386501)-sin(-1.07388786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476730262632637-0.476710176224076)×R²
    abs(-0.58344001--0.58348794)×2.00864085603825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00864085603825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00864085603825e-05×40589641000000     		ar = 21192.0229637916m²