Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53363 / 93973
↖ ↑ ↗
← S 61.297945°
W 33.434143°		 ← 146.68 m → S 61.297945°
W 33.431396°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.299264°
W 33.434143°		 ← 146.68 m →
21 512 m²		 S 61.299264°
W 33.431396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407131195068359 y=0.716960906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407131195068359 × 217)
    floor (0.407131195068359 × 131072)
    floor (53363.5)     		tx = 53363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716960906982422 × 217)
    floor (0.716960906982422 × 131072)
    floor (93973.5)     		ty = 93973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53363 / 93973 ti = "17/53363/93973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53363/93973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53363 ÷ 217
    53363 ÷ 131072     		x = 0.407127380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93973 ÷ 217
    93973 ÷ 131072     		y = 0.716957092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407127380371094 × 2 - 1) × π
    -0.185745239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.58353588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716957092285156 × 2 - 1) × π
    -0.433914184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.36318161449554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58353588} λ = -0.58353588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36318161449554))-π/2
    2×atan(0.255845478974848)-π/2
    2×0.250472678536864-π/2
    0.500945357073728-1.57079632675     		φ = -1.06985097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58353588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.434143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06985097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.297945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53363 KachelY 93973 -0.58353588 -1.06985097 -33.434143 -61.297945
    Oben rechts KachelX + 1 53364 KachelY 93973 -0.58348794 -1.06985097 -33.431396 -61.297945
    Unten links KachelX 53363 KachelY + 1 93974 -0.58353588 -1.06987399 -33.434143 -61.299264
    Unten rechts KachelX + 1 53364 KachelY + 1 93974 -0.58348794 -1.06987399 -33.431396 -61.299264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06985097--1.06987399) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06985097--1.06987399) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58353588--0.58348794) × cos(-1.06985097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480254952887437 × 6371000     		do = 146.682224374214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58353588--0.58348794) × cos(-1.06987399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480234761251954 × 6371000     		du = 146.676057329005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06985097)-sin(-1.06987399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480254952887437-0.480234761251954)×R²
    abs(-0.58348794--0.58353588)×2.01916354827802e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01916354827802e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01916354827802e-05×40589641000000     		ar = 21512.024403557m²