Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53362 / 94129
↖ ↑ ↗
← S 61.503045°
W 33.436890°		 ← 145.72 m → S 61.503045°
W 33.434143°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
S 61.504355°
W 33.436890°		 ← 145.72 m →
21 232 m²		 S 61.504355°
W 33.434143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407123565673828 y=0.718151092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407123565673828 × 217)
    floor (0.407123565673828 × 131072)
    floor (53362.5)     		tx = 53362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718151092529297 × 217)
    floor (0.718151092529297 × 131072)
    floor (94129.5)     		ty = 94129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53362 / 94129 ti = "17/53362/94129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53362/94129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53362 ÷ 217
    53362 ÷ 131072     		x = 0.407119750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94129 ÷ 217
    94129 ÷ 131072     		y = 0.718147277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407119750976562 × 2 - 1) × π
    -0.185760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58358382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718147277832031 × 2 - 1) × π
    -0.436294555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.37065977083627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58358382} λ = -0.58358382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37065977083627))-π/2
    2×atan(0.253939362485503)-π/2
    2×0.248682848008214-π/2
    0.497365696016429-1.57079632675     		φ = -1.07343063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58358382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.436890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07343063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.503045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53362 KachelY 94129 -0.58358382 -1.07343063 -33.436890 -61.503045
    Oben rechts KachelX + 1 53363 KachelY 94129 -0.58353588 -1.07343063 -33.434143 -61.503045
    Unten links KachelX 53362 KachelY + 1 94130 -0.58358382 -1.07345350 -33.436890 -61.504355
    Unten rechts KachelX + 1 53363 KachelY + 1 94130 -0.58353588 -1.07345350 -33.434143 -61.504355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07343063--1.07345350) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07343063--1.07345350) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58358382--0.58353588) × cos(-1.07343063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.477112059223907 × 6371000     		do = 145.72230375129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58358382--0.58353588) × cos(-1.07345350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4770919599719 × 6371000     		du = 145.716164922372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07343063)-sin(-1.07345350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477112059223907-0.4770919599719)×R²
    abs(-0.58353588--0.58358382)×2.00992520069665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00992520069665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00992520069665e-05×40589641000000     		ar = 21231.9875246863m²