Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53362 / 22646
↖ ↑ ↗
← N 48.494767°
E113.126221°		 ← 404.80 m → N 48.494767°
E113.131714°		 →
↑
404.75 m
↓
↑
404.75 m
↓
N 48.491127°
E113.126221°		 ← 404.83 m →
163 850 m²		 N 48.491127°
E113.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814247131347656 y=0.345558166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814247131347656 × 216)
    floor (0.814247131347656 × 65536)
    floor (53362.5)     		tx = 53362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345558166503906 × 216)
    floor (0.345558166503906 × 65536)
    floor (22646.5)     		ty = 22646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53362 / 22646 ti = "16/53362/22646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53362/22646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53362 ÷ 216
    53362 ÷ 65536     		x = 0.814239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22646 ÷ 216
    22646 ÷ 65536     		y = 0.345550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814239501953125 × 2 - 1) × π
    0.62847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97442502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345550537109375 × 2 - 1) × π
    0.30889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.970434595908417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97442502} λ = 1.97442502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970434595908417))-π/2
    2×atan(2.63909114837795)-π/2
    2×1.20859484495391-π/2
    2.41718968990782-1.57079632675     		φ = 0.84639336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97442502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.126221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84639336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.494767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53362 KachelY 22646 1.97442502 0.84639336 113.126221 48.494767
    Oben rechts KachelX + 1 53363 KachelY 22646 1.97452090 0.84639336 113.131714 48.494767
    Unten links KachelX 53362 KachelY + 1 22647 1.97442502 0.84632983 113.126221 48.491127
    Unten rechts KachelX + 1 53363 KachelY + 1 22647 1.97452090 0.84632983 113.131714 48.491127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84639336-0.84632983) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dl = 404.749630000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84639336-0.84632983) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dr = 404.749630000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97442502-1.97452090) × cos(0.84639336) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.662688445494121 × 6371000     		do = 404.804217708718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97442502-1.97452090) × cos(0.84632983) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.662736021468973 × 6371000     		du = 404.833279563369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84639336)-sin(0.84632983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662688445494121-0.662736021468973)×R²
    abs(1.97452090-1.97442502)×4.75759748522764e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75759748522764e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75759748522764e-05×40589641000000     		ar = 163850.23878291m²